超限归纳法编辑本段回目录
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又称超穷归纳法，数学中用来证明某种类型命题的重要方法，亦称超限归纳证法。设 (Χ，≤)是一个良序集，对任意α∈Χ,Χα={b∈Χ│b<α}称为在Χ中由α所确定的截段。E嶅Χ称为归纳子集,如果对于任何α∈Χ,只要截段Χα嶅E,就有α∈E。超限归纳定理断言：设E为良序集(Χ,≤)的归纳子集,则E＝Χ。因为若α为Χ的最小元素,则由
,可得α∈E:如果α┡为Bα={b∈Χ│b>α}的最小元素,那么Χα'={x∈Χ│x<α┡}={α}嶅E,遂有α┡∈E。同理可得α″=(α┡)┡∈E等等。容易看出,Χ的良序性是定理成立的重要依据，倘若把它改为Χ是全序集，则Χ的非空子集可以没有最小元素,命题就不成立了。当Χ为自然数集N时，就得到上述定理的一个常用的特殊情况,称为数学归纳法，表述为：若E嶅N，满足①0∈E；②对于任何n∈N,如果由一切小于n的自然数k∈E,可以推出n∈E，则E=N。其中一切小于 n的自然数k∈E相当于Nn嶅E,而0∈E则是
的结果。在引进“类”概念的前提下，超限归纳定理可以叙述为：设C是一个序数类,如果①0∈C；②若α∈C,可得α┡=α+1∈C；③若α为极限序数，并且对一切β<α，β∈C，就必然有α∈C,则C是所有序数的类。
,可得α∈E:如果α┡为Bα={b∈Χ│b>α}的最小元素,那么Χα'={x∈Χ│x<α┡}={α}嶅E,遂有α┡∈E。同理可得α″=(α┡)┡∈E等等。容易看出,Χ的良序性是定理成立的重要依据，倘若把它改为Χ是全序集，则Χ的非空子集可以没有最小元素,命题就不成立了。当Χ为自然数集N时，就得到上述定理的一个常用的特殊情况,称为数学归纳法，表述为：若E嶅N，满足①0∈E；②对于任何n∈N,如果由一切小于n的自然数k∈E,可以推出n∈E，则E=N。其中一切小于 n的自然数k∈E相当于Nn嶅E,而0∈E则是的结果。在引进“类”概念的前提下，超限归纳定理可以叙述为：设C是一个序数类,如果①0∈C；②若α∈C,可得α┡=α+1∈C；③若α为极限序数，并且对一切β<α，β∈C，就必然有α∈C,则C是所有序数的类。
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