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又称调和分析，分析学中18世纪以后逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质。在经历了近两个世纪的发展之后，研究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。关于后者的研究又称为群上的傅里叶分析，以区别于前者的经典傅里叶分析。傅里叶分析，作为数学的一个分支，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其他分支的发展。数学中很多重要思想的形成，都与傅里叶分析的发展过程密切相关。
历史渊源 法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要 ，从事热流动的研究 。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解；在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。
由三角函数系｛cos nx,sin nx｝ (n=0,1,2,…)组成的无穷级数
给定?(x)，利用(3)得到的三角级数(1),称为?的傅里叶级数,而称(3)为?的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别,
(n=0,±1，±2,…)是［0,2π］上的就范正交函数系，函数?关于它的傅里叶级数为
发展概况 傅里叶分析从诞生之日起,就围绕着“?的傅里叶级数究竟是否收敛于 ?自身”这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函数?(x)的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数?的傅里叶级数,在它的连续点上必收敛于?(x)；如果?在x点不连续，则级数的和是(?(x+0)+?(x-0))/2。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中，才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中，函数在一个周期内的分段单调性，可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函数。
（G.F.）B.黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定?的傅里叶系数，要用到积分式(3)。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》(1854)的论文中，为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数?(x)在［0,2π］上有界且可积，则当n趋于无穷时? 的傅里叶系数趋于0。此外，黎曼还指出，有界可积函数?的傅里叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于?(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。
G.G.斯托克斯和 P.L.von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后，傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函数?(x)可以惟一地表示为三角级数这一结论，通常采用的论证方法是不完备的，因为傅里叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。这就促使G.（F.P.）康托尔研究函数用三角级数表示是否惟一的问题。这种惟一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。
K.（T.W.）外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函数只有在少数一些点上才不可求导。
20世纪以来的发展
勒贝格积分理论 20世纪初，H.L.勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念，对傅里叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度，现在称为勒贝格积分与勒贝格测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论，把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如，根据勒贝格积分的性质，任何勒贝格可积函数的傅里叶级数，不论收敛与否，都可以逐项积分。又例如，对于［0,2π］上勒贝格平方可积的函数，帕舍伐尔等式成立：
费耶尔求和法 正是基于上述原因，1904年，匈牙利数学家L.费耶尔首次考虑用部分和的算术平均代替级数的部分和，证明了傅里叶级数部分和序列的算术平均，在函数的连续点上,必收敛于函数自身。这样,通过新的求和法，又能成功地用傅里叶级数表达连续函数。这无疑是傅里叶级数理论的一个重要进展。费耶尔之后，各种求和法相继产生。一门新的学科分支，发散级数的求和理论，就此应运而生。
卢津猜想 与此同时，傅里叶级数几乎处处收敛的问题，特别是所谓的卢津猜想，受到人们的重视（见卢津问题）。瑞典数学家L.卡尔森用十分精巧的方法，才证实了这一猜想的正确性。
复变函数论方法 傅里叶级数与单位圆内解析函数的理论有着非常密切的联系。假设(1)是可积函数?的傅里叶级数，简单的计算表明，它是复变量z的幂级数
经典的Hp 空间概念 进一步的研究导致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立单位圆上Hp 空间的理论。他们研究了单位圆内使
有界的解析函数F(z)，这里0<r<1，而p>0。这类函数的全体，称为Hp 空间，它是近代Hp 空间理论的先驱。
通过傅里叶级数刻画函数类是傅里叶分析中的重要课题,著名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函数类l2(0,2π)的特征。如果P≠2，则有以下的豪斯多夫-杨定理。
豪斯多夫－杨定理 设1<p≤2,p┡=p/(p-1),如果?∈lp(0,2π)，Cn是?的复傅里叶系数，那么
中某函数?的傅里叶系数，且 
，1<p<2,但
。这样的函数是存在的。假设?0的傅里叶级数的复形式是
,那么可以证明,级数
（±号随机地取）不是傅里叶级数,更不可能是 Lp（0, 2π）中函数的傅里叶级数。这说明，不能简单地期望以傅里叶系数的大小来刻画lp（p≠2）中函数的特征。由J.E.李特尔伍德、 R.E.A.C.佩利首创, 后由A.赞格蒙以及J.马钦凯维奇等发展起来的理论，就给出了lp(0,2π)空间中函数的傅里叶级数的特征性质。方法是：把级数
进行“二进”分割成如下的序列：
；
。 那么当1<p<∞时,存在绝对常数с1、с2，使得
50年代以前，傅里叶分析的研究领域基本上限于一维的具体空间，50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广。
考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论 由于偏微分方程等许多数学分支发展的需要，50年代出现的考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论，标志了调和分析进入了一个新的历史时期。例如，当?∈l1(Rn)，泊松方程Δu=?的基本解u(x)的二阶导函数,在一定条件下（例如?具有Lip α连续性），可以表成如下的奇异积分
考尔德伦、赞格蒙研究了一类相当广泛的奇异积分算子
。他们证明了这种积分算子具有lp有界性(p>1)；利用这些性质,可以得到某类微分方程中解的“先验估计”。
hp空间理论的近代发展 E.M.施坦、G.韦斯于20世纪60年代,引进了上半空间
上的hp空间,它们是n＝1的推广。当n=1时,hp(p>0)空间中的函数在R＝(-∞,∞)上的边值函数几乎处处以及在lp范数下都存在，施坦、韦斯定义的多维 
空间, 显然是一维 hp(R崹)空间的推广。人们自然要问,经典的 hp(R崹)空间中最基本的性质，例如边值函数的存在性等，在多维
空间中是否还被保留？施坦、韦斯首先发现,p>(n-1)/n时，答案是肯定的;例如他们证明,若F∈,p>(n-1)/n，那么
几乎处处以及在 Lp范数意义下都存在。1964年，考尔德伦、赞格蒙利用高阶梯度概念，原则上把hp空间的上述限制p>(n-1)/n放宽为p>0，但他们的方法比较复杂,随着指标p的不同,hp空间定义的一致性,当时并不清楚。
70年代初，hp空间的近代理论经历了引人注目的发展。D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪、M.L.西尔费斯坦于1971年，首先就一维的情形,证明
的充分且必要的条件是,F(x+iy)的实部 u(x,y)的角形极大函数 
中去,并且进一步指出,当0<p<∞时,?(x)作为中某函数的边值函数的充分且必要的条件是：存在充分光滑的函数φ(x),
,使得?关于φ的角形极大函数
群上的傅里叶分析 对于R=(-∞,∞)上定义的非周期可积函数?(x)，傅里叶积分
傅里叶级数(1) 和傅里叶积分(10)的具体形式不同，但都反映了一个重要的事实,即它们都把函数?分解为许多个分量eixz(-∞<z<∞)或eixn(n＝0,±1,±2,…)之和。例如对于傅里叶级数(1)，?(x)分解为сneixn(n＝0,±1，±2,…)之和；而傅里叶积分(10)则表明,?(x)可以分解为无穷个 弮(z)eixz(-∞<z<∞)之“和”。分量的系数сn(n=0,±1,±2,…)以及弮(z)(-∞<z<∞)的确定，也有类似之处。事实上，它们都可以用下面的形式来表达：
，测度 
是 G＝［0,2π］上的勒贝格测度，此时 
,即傅里叶系数(4)；当 ?为定义在 (-∞，∞) 上的非周期函数时,x(t)=
(-∞<x<∞), 而
是(-∞,∞)上的勒贝格测度，公式(11)即为傅里叶变换。
把函数?分解为许多个“特殊”函数｛eixt｝之和的思想，启发人们考虑更为深刻的问题。事实上，从群的观点看，无论是周期函数还是非周期函数，它们的定义域都是拓扑群G，就是说，G有一个代数运算，称为群运算，以及与之相协调的极限运算,称为G的拓扑。傅里叶级数或傅里叶积分的任务,正是研究G上定义的函数?(x)分解为群上许多“特殊”函数（例如einx或eitx）之和的可能性,以及通过傅里叶系数或傅里叶变换来研究?自身的性质。对于一般的拓扑群G,相当于｛einx｝或｛eitx｝的“特殊”函数是哪种函数；把这种“特殊”函数x(t)代入公式(11)，又必须确定G上的测度μ，以求出 ?的傅里叶变换，这是在群上建立傅里叶分析理论所必须解决的两个基本问题。对于直线群 R=(-∞,∞)，它的 “特殊”函数x(t)=eixt(-∞<x<∞)的特殊性，就在于它们满足以下的三个条件:①x(t+s)=x(t)x(s),②｜x(t)｜=1，③x(t)是t的连续函数。用群表示论的术语来说,条件①、②、③合起来，正好说明 x(t)是群R的一个酉表示，而且进一步可以证明，满足①、②、③的不可约的酉表示的全体就是 ｛eixt｝(-∞<x<∞)。对圆周群T而言，T的“特殊”函数全体xn(t)=e
(n＝0,±1,±2,…)除满足①～③以外，还满足条件④xn(2π)=1。从群表示论的观点看，条件①～④合起来,说明T的“特殊”函数正好是群T的酉表示；进一步则可证明，T的一切不可约酉表示正好就是｛e｜n=0,±1,±2,…｝。这样,寻找一般抽象群G上合适的“特殊”函数的问题,就转化为研究和寻找群G上一切不可约酉表示的问题。对于紧群或局部紧的交换群,群表示论的结果已经相当丰富,相应的“特殊”函数的研究也比较成熟。至于既非交换又非紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函数，尚是一个值得探索的难题。
研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的另一个基本课题，因为群上的积分(11)离不开相应的测度。以可加的局部紧拓扑群R=(-∞,∞)为例，经典的勒贝格测度的主要特点是:①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限;②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的。人们自然要问,一般的拓扑群上,具有①、②两条件的测度（现在称为哈尔测度）是否存在？存在的话，是否惟一？这个问题,自1930年以来,经A.哈尔，A.韦伊以及И.М.盖尔范德等人的努力,已经证明，在局部紧的拓扑群上，满足条件①、②的哈尔测度是一定存在的，并且相互间仅差常数倍。例如，以乘法为群运算的全体正实数构成一拓扑群R+，它的拓扑就是欧氏空间的拓扑, 那么测度dμ=x_1dx就是R+上的哈尔测度。这是因为，对于任意的
参考书目
A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed., Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.
E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.
G.M.Stein and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2, Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.
历史渊源 法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要 ，从事热流动的研究 。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解；在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。
由三角函数系｛cos nx,sin nx｝ (n=0,1,2,…)组成的无穷级数
(1)
， (2)
。 (3)
给定?(x)，利用(3)得到的三角级数(1),称为?的傅里叶级数,而称(3)为?的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别,
(n=0,±1，±2,…)是［0,2π］上的就范正交函数系，函数?关于它的傅里叶级数为 
(4)
发展概况 傅里叶分析从诞生之日起,就围绕着“?的傅里叶级数究竟是否收敛于 ?自身”这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函数?(x)的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数?的傅里叶级数,在它的连续点上必收敛于?(x)；如果?在x点不连续，则级数的和是(?(x+0)+?(x-0))/2。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中，才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中，函数在一个周期内的分段单调性，可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函数。
（G.F.）B.黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定?的傅里叶系数，要用到积分式(3)。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》(1854)的论文中，为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数?(x)在［0,2π］上有界且可积，则当n趋于无穷时? 的傅里叶系数趋于0。此外，黎曼还指出，有界可积函数?的傅里叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于?(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。
G.G.斯托克斯和 P.L.von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后，傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函数?(x)可以惟一地表示为三角级数这一结论，通常采用的论证方法是不完备的，因为傅里叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。这就促使G.（F.P.）康托尔研究函数用三角级数表示是否惟一的问题。这种惟一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。
K.（T.W.）外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函数只有在少数一些点上才不可求导。
20世纪以来的发展
勒贝格积分理论 20世纪初，H.L.勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念，对傅里叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度，现在称为勒贝格积分与勒贝格测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论，把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如，根据勒贝格积分的性质，任何勒贝格可积函数的傅里叶级数，不论收敛与否，都可以逐项积分。又例如，对于［0,2π］上勒贝格平方可积的函数，帕舍伐尔等式成立：
。
费耶尔求和法 正是基于上述原因，1904年，匈牙利数学家L.费耶尔首次考虑用部分和的算术平均代替级数的部分和，证明了傅里叶级数部分和序列的算术平均，在函数的连续点上,必收敛于函数自身。这样,通过新的求和法，又能成功地用傅里叶级数表达连续函数。这无疑是傅里叶级数理论的一个重要进展。费耶尔之后，各种求和法相继产生。一门新的学科分支，发散级数的求和理论，就此应运而生。
卢津猜想 与此同时，傅里叶级数几乎处处收敛的问题，特别是所谓的卢津猜想，受到人们的重视（见卢津问题）。瑞典数学家L.卡尔森用十分精巧的方法，才证实了这一猜想的正确性。
复变函数论方法 傅里叶级数与单位圆内解析函数的理论有着非常密切的联系。假设(1)是可积函数?的傅里叶级数，简单的计算表明，它是复变量z的幂级数
(5)
经典的Hp 空间概念 进一步的研究导致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立单位圆上Hp 空间的理论。他们研究了单位圆内使
有界的解析函数F(z)，这里0<r<1，而p>0。这类函数的全体，称为Hp 空间，它是近代Hp 空间理论的先驱。 通过傅里叶级数刻画函数类是傅里叶分析中的重要课题,著名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函数类l2(0,2π)的特征。如果P≠2，则有以下的豪斯多夫-杨定理。
豪斯多夫－杨定理 设1<p≤2,p┡=p/(p-1),如果?∈lp(0,2π)，Cn是?的复傅里叶系数，那么
；
中某函数?的傅里叶系数，且 
。
，1<p<2,但。这样的函数是存在的。假设?0的傅里叶级数的复形式是,那么可以证明,级数（±号随机地取）不是傅里叶级数,更不可能是 Lp（0, 2π）中函数的傅里叶级数。这说明，不能简单地期望以傅里叶系数的大小来刻画lp（p≠2）中函数的特征。由J.E.李特尔伍德、 R.E.A.C.佩利首创, 后由A.赞格蒙以及J.马钦凯维奇等发展起来的理论，就给出了lp(0,2π)空间中函数的傅里叶级数的特征性质。方法是：把级数进行“二进”分割成如下的序列： ；。 那么当1<p<∞时,存在绝对常数с1、с2，使得 
(6)！！
。
。 (7)
50年代以前，傅里叶分析的研究领域基本上限于一维的具体空间，50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广。
考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论 由于偏微分方程等许多数学分支发展的需要，50年代出现的考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论，标志了调和分析进入了一个新的历史时期。例如，当?∈l1(Rn)，泊松方程Δu=?的基本解u(x)的二阶导函数,在一定条件下（例如?具有Lip α连续性），可以表成如下的奇异积分
,
考尔德伦、赞格蒙研究了一类相当广泛的奇异积分算子
(9)
。他们证明了这种积分算子具有lp有界性(p>1)；利用这些性质,可以得到某类微分方程中解的“先验估计”。 hp空间理论的近代发展 E.M.施坦、G.韦斯于20世纪60年代,引进了上半空间
上的hp空间,它们是n＝1的推广。当n=1时,hp(p>0)空间中的函数在R＝(-∞,∞)上的边值函数几乎处处以及在lp范数下都存在，施坦、韦斯定义的多维 空间, 显然是一维 hp(R崹)空间的推广。人们自然要问,经典的 hp(R崹)空间中最基本的性质，例如边值函数的存在性等，在多维空间中是否还被保留？施坦、韦斯首先发现,p>(n-1)/n时，答案是肯定的;例如他们证明,若F∈,p>(n-1)/n，那么几乎处处以及在 Lp范数意义下都存在。1964年，考尔德伦、赞格蒙利用高阶梯度概念，原则上把hp空间的上述限制p>(n-1)/n放宽为p>0，但他们的方法比较复杂,随着指标p的不同,hp空间定义的一致性,当时并不清楚。 70年代初，hp空间的近代理论经历了引人注目的发展。D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪、M.L.西尔费斯坦于1971年，首先就一维的情形,证明
的充分且必要的条件是,F(x+iy)的实部 u(x,y)的角形极大函数 
,
中去,并且进一步指出,当0<p<∞时,?(x)作为中某函数的边值函数的充分且必要的条件是：存在充分光滑的函数φ(x),,使得?关于φ的角形极大函数 
，
。
群上的傅里叶分析 对于R=(-∞,∞)上定义的非周期可积函数?(x)，傅里叶积分
傅里叶级数(1) 和傅里叶积分(10)的具体形式不同，但都反映了一个重要的事实,即它们都把函数?分解为许多个分量eixz(-∞<z<∞)或eixn(n＝0,±1,±2,…)之和。例如对于傅里叶级数(1)，?(x)分解为сneixn(n＝0,±1，±2,…)之和；而傅里叶积分(10)则表明,?(x)可以分解为无穷个 弮(z)eixz(-∞<z<∞)之“和”。分量的系数сn(n=0,±1,±2,…)以及弮(z)(-∞<z<∞)的确定，也有类似之处。事实上，它们都可以用下面的形式来表达：
。 (11)
，测度 是 G＝［0,2π］上的勒贝格测度，此时 ,即傅里叶系数(4)；当 ?为定义在 (-∞，∞) 上的非周期函数时,x(t)=(-∞<x<∞), 而是(-∞,∞)上的勒贝格测度，公式(11)即为傅里叶变换。 把函数?分解为许多个“特殊”函数｛eixt｝之和的思想，启发人们考虑更为深刻的问题。事实上，从群的观点看，无论是周期函数还是非周期函数，它们的定义域都是拓扑群G，就是说，G有一个代数运算，称为群运算，以及与之相协调的极限运算,称为G的拓扑。傅里叶级数或傅里叶积分的任务,正是研究G上定义的函数?(x)分解为群上许多“特殊”函数（例如einx或eitx）之和的可能性,以及通过傅里叶系数或傅里叶变换来研究?自身的性质。对于一般的拓扑群G,相当于｛einx｝或｛eitx｝的“特殊”函数是哪种函数；把这种“特殊”函数x(t)代入公式(11)，又必须确定G上的测度μ，以求出 ?的傅里叶变换，这是在群上建立傅里叶分析理论所必须解决的两个基本问题。对于直线群 R=(-∞,∞)，它的 “特殊”函数x(t)=eixt(-∞<x<∞)的特殊性，就在于它们满足以下的三个条件:①x(t+s)=x(t)x(s),②｜x(t)｜=1，③x(t)是t的连续函数。用群表示论的术语来说,条件①、②、③合起来，正好说明 x(t)是群R的一个酉表示，而且进一步可以证明，满足①、②、③的不可约的酉表示的全体就是 ｛eixt｝(-∞<x<∞)。对圆周群T而言，T的“特殊”函数全体xn(t)=e
(n＝0,±1,±2,…)除满足①～③以外，还满足条件④xn(2π)=1。从群表示论的观点看，条件①～④合起来,说明T的“特殊”函数正好是群T的酉表示；进一步则可证明，T的一切不可约酉表示正好就是｛e｜n=0,±1,±2,…｝。这样,寻找一般抽象群G上合适的“特殊”函数的问题,就转化为研究和寻找群G上一切不可约酉表示的问题。对于紧群或局部紧的交换群,群表示论的结果已经相当丰富,相应的“特殊”函数的研究也比较成熟。至于既非交换又非紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函数，尚是一个值得探索的难题。 研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的另一个基本课题，因为群上的积分(11)离不开相应的测度。以可加的局部紧拓扑群R=(-∞,∞)为例，经典的勒贝格测度的主要特点是:①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限;②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的。人们自然要问,一般的拓扑群上,具有①、②两条件的测度（现在称为哈尔测度）是否存在？存在的话，是否惟一？这个问题,自1930年以来,经A.哈尔，A.韦伊以及И.М.盖尔范德等人的努力,已经证明，在局部紧的拓扑群上，满足条件①、②的哈尔测度是一定存在的，并且相互间仅差常数倍。例如，以乘法为群运算的全体正实数构成一拓扑群R+，它的拓扑就是欧氏空间的拓扑, 那么测度dμ=x_1dx就是R+上的哈尔测度。这是因为，对于任意的
,
。
参考书目
A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed., Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.
E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.
G.M.Stein and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2, Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.
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