李冶(1192----1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作《益古演段》（1259）也是讲解天元术的。
生平编辑本段回目录
李冶(1192-1279)是中国古代数学家，字仁卿，号敬斋，真定府栾城县(今河北省栾城县)人。李冶生于大兴(今北京市大兴县)，父亲李通为大兴府推官．李冶自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县(今河北省元氏县)求学，对数学和文学都很感兴趣．《元朝名臣事略》中说："公(指李冶)幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风．"1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，任钧州(今河南禹县)知事，为官清廉、正直．1232年，钧州城被蒙古军队攻破．李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河避难．
经过一段时间的颠沛流离之后，李冶定居于崞山(今山西崞县)之桐川．1234年初，金朝终于为蒙古所灭．金朝的灭亡给李冶生活带来不幸，但由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间．他在桐川的研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学．其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结，写成数学史上的不朽名著--《测圆海镜》．他的工作条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波．但他却以著书为乐，从不间断自己的写作．据《真定府志》记载，李冶"聚书环堵，人所不堪"，但却"处之裕如也"．他的学生焦养直说他："虽饥寒不能自存，亦不恤也"，在"流离顿挫"中"亦未尝一日废其业"．经过多年的艰苦奋斗，李冶的《测圆海镜》终于在l248年完搞．它是我国现存最早的一部系统讲述天元术的著作．
1251年，李冶的经济情况有所好转，他结束了在山西的避难生活，回元氏县封龙山定居，并收徒讲学．1257年在开平(今内蒙古正蓝旗)接受忽必烈召见，提出一些进步的政治建议．l259年在封龙山写成另一部数学著作-一《益古演段》．1265年应忽必烈之聘，去燕京(今北京)担任翰林学士知制洁同修国史官职，因感到在翰林院思想不自由，第二年辞耿还乡．李冶是一位多才多艺的学者，除数学外，在文史等方面也深有造诣．他晚年完成的《敬斋古今注》与《泛说》是两部内容丰富的著作，是他积多年笔记而成的．《泛说》一书已失传，仅存数条于《敬斋古今注》附录．他还著有《文集》四十卷与《壁书丛制》十二卷，已佚．1279年，李冶病逝于元氏．李冶在数学上的主要成就是总结并完善了天元术，使之成为中国独特的半符号代数．这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右．他的《测圆海镜》是天元术的代表作，而《益古演段》则是一本普及天元术的著作．
所谓天元术，就是一种用数学符号列方程的方法，"立天元一为某某"相当于今"设x为某某"是一致的．在中国，列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》，书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念．到唐代，王孝通已经能列出三次方程，但仍是用文字叙述的，而且尚未掌握列方程的一般方法．经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题基本解决了．随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱．但直到李冶之前，天元术还是比较幼稚的，记号混乱、复杂，演算烦琐．例如李冶在东平(今山东省东平县)得到的一本讲天元术的算书中，还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂，它"以十九字识其上下层，曰仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼．"这就是说，以"人"字表示常数，人以上九字表示未知数的各正数次幂(最高为九次)，入以下九字表示未知数的各负数次幂(最低也是九次)，其运算之繁可见一斑．从稍早于《测圆海镜》的《铃经》等书来看，天元术的作用还十分有限．李冶则在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法．当时，北方出了不少算书，除《铃经》外，还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等，这无疑为李冶的数学研究提供了条件．特别值得一提的是，他在桐川得到了洞渊的一部算书，内有九客之说，专讲勾股容圆问题．此书对他启发甚大．为了能全面、深入地研究天元术，李冶把勾股容圆(即切圆)问题作为一个系统来研究．他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就．
《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式．卷一的"识别杂记"阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共六百余条，每条可看作一个定理(或公式)，这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结．后面各卷的习题，都可以在"识别杂记"的基础上以天元术为工具推导出来．李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法．他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码．除O以外的数码古已有之，是筹式的反映．但筹式中遇O空位，没有符号O．从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书，它们成书的时间相差不过一年．《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多．但书中用天元术导出许多高次方程(最高为六次)，给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的．
《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，它无疑是当时世界上第一流的数学著作．但由于内容较深，粗知数学的人看不懂．而且当时数学不受重视，所以天元术的传播速度较慢．李冶清楚地看到这一点，他坚信天元术是解决数学问题的一个有力工具，同时深刻认识到普及天元术的必要性．他在结束避难生活、回元氏县定居以后，许多人跟他学数学，促使他写一本深入浅出、便于教学的书，《益古演段》便是在这种情况下写成的．《测困海镜》的研究对象是离生活较远而自成系统的圆城图式，《益古演段》则把天元术用于解决实际问题，研究对象是日常所见的方、圆面积．李冶大概认识到，天元术是从几何中产生的．因此，为了使人们理解天元术，就需回顾它与几何的关系，给代数以几何解释，而对二次方程进行几何解释是最方便的，于是便选择了以二次方程为主要内容的《益古集》(11世纪蒋周撰)．正如《四库全书·益古演段提要》所说："此法(指天元术)虽为诸法之根，然神明变化，不可端倪，学者骤欲通之，茫无门径之可入．惟因方圆幂积以明之，其理尤届易见．"李冶是很乐于作这种普及工作的，他在序言中说："使粗知十百者，便得入室啖其文，顾不快哉！"《益古演段》的价值不仅在于普及天元术，理论上也有创新首先，李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数个数，化多元问题为一元问题．其次，李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算．
《测圆海镜》编辑本段回目录
《测圆海镜》是现存最早的一部以天元术为主要内容的著作．天元术虽在北宋已经产生，但直到李冶之前还不成熟，记号混乱、复杂，演算烦琐，甚至不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂．李冶致力于改进天元术，使之简便而实用．《测圆海镜》就是他长期研究天元术的成果．
《测圆海镜》卷一的圆城图式是全书出发点．该图以一个直角三角形及其内切圆为基础，通过若干互相平行或垂直的直线，构成16个直角三角形．书中题目都是已知某些三角形边长，求圆径．卷一的“识别杂记”阐明了各勾股形边长及其与圆径的关系，共600余条，每条可看作一个定理或公式，这部分内容是对中国古代勾股容圆问题的总结．卷二到十二为习题，共170题．全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的基本理论，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来．
李冶的天元术分为三步：首先“立天元一”，这相当于设未知数x；然后寻找两个等值的且至少有一个含天元的多项式(或分式)；最后把两个多项式(或分式)连为方程，通过相消，化成标准形式
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0＝0．
李冶称方程式为天元式，在《测圆海镜》中采用由高次幂到低次幂上下排列的顺序，式中只标“元”或“太”一个字，元代表一次项，太代表常数项，负系数加一斜线，零系数标数码○．例如
-x2＋320x－132800＋13056000x-1＝0
和-414x2＋478584＝0
分别写为图8．7和图8．8的形式．下面以卷四第六问为例，用现代符号表出李冶的解题过程．
已知：a3＝200，c11＝170．
求：D．
解：由识别杂记，得b。
15＝a3－c11=30．
设半径为x，则
b11=x＋b15＝x＋30，
a11＝a3-x＝200-x，
a1＝a3＋x＝200＋x．
因为△1∽△11，所以
所以D2＝2b10×a11=6x2-340x＋12000．
又因为D2＝(2x)2＝4x2，
所以4x2=6x2-340x＋12000．
相消(相当于移项，合并同类项)，得
2x2-340x+12000＝0，
即x2-170x＋6000＝0．
解方程，得
x＝120．
所以D＝2×120＝240．
《测圆海镜》的理论成果是巨大的．宋代以前，方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数项通常是表示面积、体积等几何量的；方程次数不高于三次，因为超过三次的方程就难于找到几何解释了．宋代天元术的产生，标志着方程理论有了独立于几何的倾向，李冶对天元术的总结，则使方程理论基本上摆脱了几何思维的束缚，实现了程序化．李冶认识到代数计算可以不依赖于几何，方程的二次项不一定表示面积，三次项也不一定表示体积．他在《测圆海镜》中改变了传统的把实(常数项)看作正数的观念，常数项可正可负．书中用天元术列出许多高次方程，包括三次、四次和六次方程．李冶还处理了分式方程，他是通过方程两边同乘一个整式的方法，化分式方程为整式方程的．当方程各项含有公因子xn(n为正整数)时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数．
《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，不久以后，王恂、郭守敬(1231—1316)在编《授时历》时，便用天元术求周天弧度，沙克什则用天元术解决水利工程中的问题，都收到良好效果．元代数学家朱世杰曾说：“以天元演之，明源活法，省功数倍．”以《测圆海镜》为代表的天元术理论，对后世数学影响很大．李冶死后，天元术经二元术、三元术，迅速发展为四元术，成功地解决了四元高次方程组的建立和求解问题，达到宋元数学的顶峰．
治学态度编辑本段回目录
李冶作为一个有成就的数学家，在治学态度方面，具有与古往今来的科学家所共有的精神，也有其独特之点：
1．在极端艰苦的条件下坚持科学研究，从不间断自己的工作。李冶处在一个动荡不定的时代，特别是弃官隐居以后，从事科学研究的环境是十分艰苦的，常常饥寒至不能自存，但仍处之泰然，以讲学著书为乐。对于数学研究，他也是下过苦功的，他在病危时对其子克修说：“测圆海镜一书，虽九九小数，五常精思致力焉，后世必有知者”。
2．坚持科学真理，不为闲言蜚语所动摇数学研究在当时社会是被轻视的，李冶的工作很少得到当时学者的理解。《测圆海镜》和《益古演段》两书，是在他逝世后三十年才得以付印的。
3．善于接受前人知识，取其精华。有人问学于李冶，李冶回答说：“学有三：积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。这就是说，要去其糟粕，取其精华，并使它成为自己的东西．
4．反对文章的深奥化和庸俗化，主张文章是为别人，而不是为自己。李冶在《益古演段》序中说：“今之算者，未必有刘（徽）李（淳风）之工，而编心踞见，不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭，唯恐学者得窥其仿佛也。”他的《益古演段》就是这种主张下的著作。
