定义编辑本段回目录
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。
r*r+p*r+q称为对递推数列:a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。
方法编辑本段回目录
对微分方程：
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。
1若实根r1不等于r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2若实根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3若有一对共轭复根（略）
对递推数列：
1若特征方程有两个不等实根r1,r2则an=c1*r1^n+c2*r2^n
其中常数c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一确定。
(1)c1r1+c2r2=a;
(2)c1r1^2+c2r2^2=b
2若特征方程有两个相等实根r1=r2=r
an=(c1+nc2)r^n
其中常数c1,c2由初始值唯一确定。
(1)a=(c1+c2)r
(2)b=(c1+2c2)r^2
一类重特征根对方程解的简便解法
对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.
