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  重要的数学概念和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n2个元素(数)αij(i,j=1,2,…,n)排成nn列并写成

行列式 (1)

的形式,它表示所有符合以下条件的项的代数和:
  ① 每项是n个元素的乘积,这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的,可记为

行列式,

式中p1,p2,…,pn是1,2,…,n的一个排列。
  ② 每项行列式应带正号或负号,以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p1p2pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α12α23α31排列(231)有2个逆序,即2在1之前;3在1之前,所以α12α23α31应带正号;而α12α21α33中(213)的逆序为1,因为这时只有2在 1之前,所以应带负号。
  (1)称为n阶行列式,有时简记为|αij|,其中αij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即αii,称为主对角线(α11α22αnn)上的元。
  因为n个元的所有排列共有n!个,所以|αij|共有n!个项。由此可知,

行列式

式中行列式是对1,2,…,n的所有排列取和,±符号按上述规则确定。例如,行列式 行列式
  行列式有多种定义方式,实质上不同的大致有三类:除上述的完全展开式定义外,常见的还有归纳定义和公理化定义等。
  行列式的基本性质  任一行列式都有以下性质:①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行 (或列) 行列式则|αij|是两个行列式的和,这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn;另一个是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元与|αij|的完全一样。④ 行列式A中两行(或列)互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行(或列)中各元同乘一数后加到另一行(或列)中各对应元上,结果仍然是A
  行列式的计算  简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行(或列)展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行(或列)展开:

行列式

式中行列式是从|αij|中划去第i 行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式,称为αij的余子式;Aij称为αij的代数余子式。在上式中把 Ait(或Ati)换成Ajt(或Atj),ij,即第i行(或列)中各元与第j行(或列)中各元的代数余子式相乘,其结果为零。以上结果可综合写成:

行列式行列式

式中δ是克罗内克符号。δ 表示当i=j时,δij=1,ij时,δij=0。
  上面是按某一行(或列)展开,还可以按某几行(或列)展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤kn)个行(或列),则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由A.-L.柯西于1812年首先证明。
  k阶子式的代数余子式是上述 1阶子式αij的代数余子式Aij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式,M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的(n-k)阶子式,则M称为N的余子式。如果N 所在的行是i1,i2,…,ik,所在的列分别是j1j2,…,jk,那么行列式称为N 的代数余子式。A自身的余子式规定为1,所以A的代数余子式也是1。若子式N 所在行的序数与所在列的序数相同,则N 称为主子式。
  某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如,2n阶行列式

行列式

  范德蒙德行列式  用数学归纳法可以证明范德蒙德行列式

行列式

显然,一个范德蒙德行列式为零的充分必要条件是x1,x2,…,xn中至少有两个相等。
  行列式的乘积  根据拉普拉斯展开式,两个 n阶行列式|αij|与|bij|的乘积是n阶行列式|сij|,即

行列式

式中

行列式

  设A=|αij|是一n阶行列式,则A的伴随行列式是

行列式

式中Aijαij的代数余子式。
  行列式的应用  克莱姆规则是用行列式求解线性方程组的一种方法。设有线性方程组

行列式    (2)

如果它的系数行列式

行列式

那么它有惟一解

xi=Di/D (i=1,2,…,n), (3)

式中Di是将D中第i列中元素αi1,αi2,…,αin分别用b1b2,…,bn替换得到的行列式。
  平面解析几何中过两点(x1y1)和(x2,y2)的直线方程可用行列式表达如下:

行列式

三条直线行列式两两互异,交于一点的充分必要条件是

行列式

以(x1,y1)、(x2,y2)和(x3 ,y3)三点为顶点的三角形的面积是

行列式

的绝对值。特别地,以(0,0)、(x1,y1)、(x2,y2)为顶点的三角形的面积是

行列式

的绝对值。因此以向量(x1,y1)、(x2,y2)为边的平行四边形的面积是

行列式

的绝对值。这一结论可以推广为:n阶行列式(1)的绝对值可以看作是n维欧几里得空间中以n个向量(αi1,αi2,…,αin)(i=1,2,…,n)为边所张成的超平行六面体的体积。此亦即行列式(1)的几何意义。
  设n维欧几里得空间中有一个变换

行列式

函数行列式

行列式

称为雅可比行列式。当J≠0时,则下面的积分变量变换公式成立:

行列式

式中Gn维欧几里得空间内有确定面积的有界域,BG的像。雅可比行列式给出了体积元行列式行列式之间的联系

行列式

它在隐函数论的研究中也是不可缺少的。
  上面行列式|αij|中的元 αij假定都是数;如果αij都在一个域中,上面得到的结果仍能成立。1943年,迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文,在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论,大致具备上述行列式基本性质,并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。
  历史上,最早使用行列式是在17世纪G.W.莱布尼茨G.-F.-A.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念及其符号,但他的某些思想却来自C.F.高斯。

 

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