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重要的数学概念和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n2个元素（数）αij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成
① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为
② 每项
应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p1p2…pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α12α23α31排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前,所以α12α23α31应带正号；而α12α21α33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在 1之前，所以应带负号。
(1)称为n阶行列式,有时简记为｜αij｜，其中αij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即αii,称为主对角线(α11α22…αnn)上的元。
因为n个元的所有排列共有n！个,所以｜αij｜共有n！个项。由此可知，
是对1,2,…,n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如，
行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有归纳定义和公理化定义等。
行列式的基本性质 任一行列式都有以下性质:①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行 (或列)
则｜αij｜是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与｜αij｜的完全一样。④ 行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
行列式的计算 简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行（或列）展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行（或列）展开：
是从|αij|中划去第i 行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式,称为αij的余子式；Aij称为αij的代数余子式。在上式中把 Ait(或Ati)换成Ajt(或Atj)，i≠j,即第i行(或列)中各元与第j行（或列）中各元的代数余子式相乘，其结果为零。以上结果可综合写成：
上面是按某一行(或列)展开，还可以按某几行（或列）展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行（或列），则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由A.-L.柯西于1812年首先证明。
k阶子式的代数余子式是上述 1阶子式αij的代数余子式Aij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式,M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的（n-k）阶子式,则M称为N的余子式。如果N 所在的行是i1,i2,…,ik,所在的列分别是j1，j2,…,jk，那么
称为N 的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N 所在行的序数与所在列的序数相同,则N 称为主子式。
某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如，2n阶行列式
行列式的乘积 根据拉普拉斯展开式，两个 n阶行列式｜αij｜与｜bij｜的乘积是n阶行列式｜сij｜,即
行列式的应用 克莱姆规则是用行列式求解线性方程组的一种方法。设有线性方程组
平面解析几何中过两点(x1，y1)和(x2,y2)的直线方程可用行列式表达如下：
两两互异,交于一点的充分必要条件是
设n维欧几里得空间中有一个变换
和
之间的联系
上面行列式|αij|中的元 αij假定都是数；如果αij都在一个域中，上面得到的结果仍能成立。1943年，迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文，在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论，大致具备上述行列式基本性质，并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。
历史上，最早使用行列式是在17世纪G.W.莱布尼茨与G.-F.-A.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念及其符号，但他的某些思想却来自C.F.高斯。
(1)
① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为
,
② 每项
应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p1p2…pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α12α23α31排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前,所以α12α23α31应带正号；而α12α21α33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在 1之前，所以应带负号。 (1)称为n阶行列式,有时简记为｜αij｜，其中αij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即αii,称为主对角线(α11α22…αnn)上的元。
因为n个元的所有排列共有n！个,所以｜αij｜共有n！个项。由此可知，
是对1,2,…,n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如， 行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有归纳定义和公理化定义等。
行列式的基本性质 任一行列式都有以下性质:①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行 (或列)
则｜αij｜是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与｜αij｜的完全一样。④ 行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。 行列式的计算 简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行（或列）展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行（或列）展开：
是从|αij|中划去第i 行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式,称为αij的余子式；Aij称为αij的代数余子式。在上式中把 Ait(或Ati)换成Ajt(或Atj)，i≠j,即第i行(或列)中各元与第j行（或列）中各元的代数余子式相乘，其结果为零。以上结果可综合写成： 
上面是按某一行(或列)展开，还可以按某几行（或列）展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行（或列），则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由A.-L.柯西于1812年首先证明。
k阶子式的代数余子式是上述 1阶子式αij的代数余子式Aij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式,M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的（n-k）阶子式,则M称为N的余子式。如果N 所在的行是i1,i2,…,ik,所在的列分别是j1，j2,…,jk，那么
称为N 的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N 所在行的序数与所在列的序数相同,则N 称为主子式。 某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如，2n阶行列式
行列式的乘积 根据拉普拉斯展开式，两个 n阶行列式｜αij｜与｜bij｜的乘积是n阶行列式｜сij｜,即
行列式的应用 克莱姆规则是用行列式求解线性方程组的一种方法。设有线性方程组
(2)
xi=Di/D (i=1,2,…,n)， (3)
式中Di是将D中第i列中元素αi1,αi2,…,αin分别用b1，b2,…,bn替换得到的行列式。平面解析几何中过两点(x1，y1)和(x2,y2)的直线方程可用行列式表达如下：
两两互异,交于一点的充分必要条件是 
设n维欧几里得空间中有一个变换
和之间的联系 
上面行列式|αij|中的元 αij假定都是数；如果αij都在一个域中，上面得到的结果仍能成立。1943年，迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文，在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论，大致具备上述行列式基本性质，并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。
历史上，最早使用行列式是在17世纪G.W.莱布尼茨与G.-F.-A.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念及其符号，但他的某些思想却来自C.F.高斯。
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