科技: 人物 企业 技术 IT业 TMT
科普: 自然 科学 科幻 宇宙 科学家
通信: 历史 技术 手机 词典 3G馆
索引: 分类 推荐 专题 热点 排行榜
互联网: 广告 营销 政务 游戏 google
新媒体: 社交 博客 学者 人物 传播学
新思想: 网站 新书 新知 新词 思想家
图书馆: 文化 商业 管理 经济 期刊
网络文化: 社会 红人 黑客 治理 亚文化
创业百科: VC 词典 指南 案例 创业史
前沿科技: 清洁 绿色 纳米 生物 环保
知识产权: 盗版 共享 学人 法规 著作
用户名: 密码: 注册 忘记密码?
    创建新词条
科技百科
  • 人气指数: 6647 次
  • 编辑次数: 1 次 历史版本
  • 更新时间: 2009-03-18
admin
admin
发短消息
相关词条
数学
数学
数论
数论
工业设计
工业设计
智慧产业
智慧产业
符号位
符号位
算法设计与分析
算法设计与分析
银行家算法
银行家算法
比例计算法
比例计算法
关键路径
关键路径
先来先服务
先来先服务
推荐词条
希拉里二度竞选
希拉里二度竞选
《互联网百科系列》
《互联网百科系列》
《黑客百科》
《黑客百科》
《网络舆情百科》
《网络舆情百科》
《网络治理百科》
《网络治理百科》
《硅谷百科》
《硅谷百科》
2017年特斯拉
2017年特斯拉
MIT黑客全纪录
MIT黑客全纪录
桑达尔·皮查伊
桑达尔·皮查伊
阿里双十一成交额
阿里双十一成交额
最新词条

热门标签

微博侠 数字营销2011年度总结 政务微博元年 2011微博十大事件 美国十大创业孵化器 盘点美国导师型创业孵化器 盘点导师型创业孵化器 TechStars 智能电视大战前夜 竞争型国企 公益型国企 2011央视经济年度人物 Rhianna Pratchett 莱恩娜·普莱契 Zynga与Facebook关系 Zynga盈利危机 2010年手机社交游戏行业分析报告 游戏奖励 主流手机游戏公司运营表现 主流手机游戏公司运营对比数据 创建游戏原型 正反馈现象 易用性设计增强游戏体验 易用性设计 《The Sims Social》社交亮 心理生理学与游戏 Kixeye Storm8 Storm8公司 女性玩家营销策略 休闲游戏的创新性 游戏运营的数据分析 社交游戏分析学常见术语 游戏运营数据解析 iPad风行美国校园 iPad终结传统教科书 游戏平衡性 成长类型及情感元素 鸿蒙国际 云骗钱 2011年政务微博报告 《2011年政务微博报告》 方正产业图谱 方正改制考 通信企业属公益型国企 善用玩家作弊行为 手机游戏传播 每用户平均收入 ARPU值 ARPU 游戏授权三面观 游戏设计所运用的化学原理 iOS应用人性化界面设计原则 硬核游戏 硬核社交游戏 生物测量法研究玩家 全球移动用户 用户研究三部曲 Tagged转型故事 Tagged Instagram火爆的3大原因 全球第四大社交网络Badoo Badoo 2011年最迅猛的20大创业公司 病毒式传播功能支持的游戏设计 病毒式传播功能 美国社交游戏虚拟商品收益 Flipboard改变阅读 盘点10大最难iPhone游戏 移动应用设计7大主流趋势 成功的设计文件十个要点 游戏设计文件 应用内置付费功能 内置付费功能 IAP功能 IAP IAP模式 游戏易用性测试 生理心理游戏评估 游戏化游戏 全美社交游戏规模 美国社交游戏市场 全球平板电脑出货量 Facebook虚拟商品收益 Facebook全球广告营收 Facebook广告营收 失败游戏设计的数宗罪名 休闲游戏设计要点 玩游戏可提高认知能力 玩游戏与认知能力 全球游戏广告 独立开发者提高工作效率的100个要点 Facebook亚洲用户 免费游戏的10种创收模式 人类大脑可下载 2012年最值得期待的20位硅谷企业家 做空中概股的幕后黑手 做空中概股幕后黑手 苹果2013营收 Playfish社交游戏架构

欧几里得算法 发表评论(0) 编辑词条

 

目录

欧几里德算法编辑本段回目录

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数

其计算原理依赖于下面的定理:

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r ,则r = a mod b


假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:

void swap(int & a, int & b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int gcd(int a,int b)
{
if(0 == a )
{
return b;
}
if( 0 == b)
{
return a;
}
if(a > b)
{
swap(a,b);
}
int c;
for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b)
{
a = b;
b = c;
}
return b;
}

模P乘法逆元编辑本段回目录


对于整数a、p,如果存在整数b,满足ab mod p =1,则说,b是a的模p乘法逆元

定理:a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1

证明:
首先证明充分性
如果gcd(a,p) = 1,根据欧拉定理,aφ(p) ≡ 1 mod p,因此
显然aφ(p)-1 mod p是a的模p乘法逆元。

再证明必要性
假设存在a模p的乘法逆元为b
ab ≡ 1 mod p
则ab = kp +1 ,所以1 = ab - kp
因为gcd(a,p) = d
所以d | 1
所以d只能为1

扩展欧几里德算法编辑本段回目录


扩展欧几里德算法不但能计算(a,b)的最大公约数,而且能计算a模b及b模a的乘法逆元,用C语言描述如下:

int gcd(int a, int b , int& ar,int & br)
{
int x1,x2,x3;
int y1,y2,y3;
int t1,t2,t3;
if(0 == a)
{//有一个数为0,就不存在乘法逆元
ar = 0;
br = 0 ;
return b;
}
if(0 == b)
{
ar = 0;
br = 0 ;
return a;
}
x1 = 1;
x2 = 0;
x3 = a;
y1 = 0;
y2 = 1;
y3 = b;
int k;
for( t3 = x3 % y3 ; t3 != 0 ; t3 = x3 % y3)
{
k = x3 / y3;
t2 = x2 - k * y2;
t1 = x1 - k * y1;
x1 = y1;
x1 = y2;
x3 = y3;
y1 = t1;
y2 = t2;
y3 = t3;
}
if( y3 == 1)
{
//有乘法逆元
ar = y2;
br = x1;
return 1;
}else{
//公约数不为1,无乘法逆元
ar = 0;
br = 0;
return y3;
}
}

扩展欧几里德算法对于最大公约数的计算和普通欧几里德算法是一致的。

 

计算乘法逆元编辑本段回目录


首先重复拙作整除中的一个论断:

如果gcd(a,b)=d,则存在m,n,使得d = ma + nb,称呼这种关系为a、b组合整数d,m,n称为组合系数。当d=1时,有 ma + nb = 1 ,此时可以看出m是a模b的乘法逆元,n是b模a的乘法逆元。

为了证明上面的结论,我们把上述计算中xi、yi看成ti的迭代初始值,考察一组数(t1,t2,t3),用归纳法证明:当通过扩展欧几里德算法计算后,每一行都满足a×t1 + b×t2 = t3

第一行:1 × a + 0 × b = a成立
第二行:0 × a + 1 × b = b成立
假设前k行都成立,考察第k+1行
对于k-1行和k行有
t1(k-1) t2(k-1) t3(k-1)
t1(k) t2(k) t3(k)
分别满足:
t1(k-1) × a + t2(k-1) × b = t3(k-1)
t1(k) × a + t2(k) × b = t3(k)
根据扩展欧几里德算法,假设t3(k-1) = j t3(k) + r
则:
t3(k+1) = r
t2(k+1) = t2(k-1) - j × t2(k)
t1(k+1) = t1(k-1) - j × t1(k)

t1(k+1) × a + t2(k+1) × b
=t1(k-1) × a - j × t1(k) × a +
t2(k-1) × b - j × t2(k) × b
= t3(k-1) - j t3(k) = r
= t3(k+1)
得证


因此,当最终t3迭代计算到1时,有t1× a + t2 × b = 1,

显然,t1是a模b的乘法逆元,t2是b模a的乘法逆元。

→如果您认为本词条还有待完善,请 编辑词条

词条内容仅供参考,如果您需要解决具体问题
(尤其在法律、医学等领域),建议您咨询相关领域专业人士。
0

标签: 欧几里得算法

收藏到: Favorites  

同义词: 暂无同义词

关于本词条的评论 (共0条)发表评论>>

对词条发表评论

评论长度最大为200个字符。