泰勒级数编辑本段回目录
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(1)
级数(1)称为函数?(z)在点z=α的泰勒级数。当α=0时,称为马克劳林级数。设z是圆│-α│<R内的任意一点,作圆γ;|-α|=r<R使得z位于γ的内部。根据柯西公式得到
(2)
因为,
并且右边的级数在γ上一致收敛,所以将此式代入(2)式,逐项积分后就得到, (3)
式中。 (4)
零点 若?(α)=?′(α)=…=?(m-1)(α)=0,?(m)(α)≠0,则称α是?(z)的一个m级零点。特别地,若m=1,则称α是?(z)的一个简单零点。根据解析函数可以展为泰勒级数的上述事实,可以得到解析函数以下两个重要性质。
① 零点的孤立性 若?(z)是域D内不恒为零的解析函数,则?(z)在D内的零点是孤立的。也就是说,若?(α)=0 (α∈D),则存在α的一个邻域,使得?(z)在该邻域内除α点外没有其他零点。
② 惟一性定理 设?1(z),?2(z)是域D内的两个解析函数,若存在点集A嶅D,它有一个属于D的极限点α,且在A上?1(z)=?2(z),则在D内?1(z)=?2(z)。惟一性定理可由零点孤立性推出。
柯西不等式 若函数 ?(z)在圆│z-α│<R内是解析的,且│?(z)│≤M,则?(z)在圆│z-α│<R内的泰勒级数的系数сn满足不等式
(5)
事实上,由(4)式得,
令r→R,就得到(5)式。刘维尔定理 若?(z)是有穷复平面上的有界解析函数,则?(z)必为常数。
事实上,这时(3)式在圆|z-α|<R内成立,R是任意正数,由柯西不等式立即推出сn=0(n≥1)即?(z)呏с0(常数)。
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