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| 罗素悖论 |
基本简介编辑本段回目录
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| 罗素悖论 |
悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
形成分类编辑本段回目录
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| 罗素悖论 |
如果R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合组成，于是R又是第二类集合；如果R是第二类集合，那么，由R的定义，R必须是R的元素，从而R又是第一类集合。总之，左右为难，无法给出回答。这就是著名的“罗素悖论”。
相关案例编辑本段回目录
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| 罗素悖论 |
由著名数学家伯特兰·罗素（Russel，1872—1970）提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的： 因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是村里不属于自身的那些集合，并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
形成影响编辑本段回目录
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| 罗素悖论 |
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：1、理查德悖论
2、培里悖论 3．格瑞林和纳尔逊悖论。
问题解决编辑本段回目录
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| 罗素悖论 |
以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，人们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。
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| 罗素悖论 |
异己词悖论和罗素悖论还有其它的不同吗？
思考这个问题的动机原是这样：是否所有能导致两难推理的悖论（包括一些所谓的语义学悖论）都有相同结构？如果不是，能不能把它们按照逻辑结构来分类？从而能够更加清晰地看清每一类悖论产生的根源。比如罗素悖论，用符号表示出来，就可看出，它用了这样一个定义模式：x是S的，如果x不是x的。(稍微严格一点写成这样：xRS,如果非xRx.R为一个二元谓词。)而在定义S时，S本身又可以用它自己的定义来判定，即可以把定义中的x换成S，导致这样一个语句：S是S的，如果S不是S 的。注意在定义中的两个语句互为充要条件，所以原来的定义中就蕴含了一个“P等价于非P”的结论，从而导致两难推理。这种定义模式本身是逻辑中的漏洞，康托的朴素集合论正因为没有防范的机制而陷入了这个逻辑漏洞，才导致了集合论形式的罗素悖论。罗素悖论已被消除，自己包含自己的集合是不可能存在的。
公理体系编辑本段回目录
不加定义的概念
罗素悖论
在类的公理体系中，有一些基本的概念是不加定义的，人们只能从其客观含义上给予解释，但这样的解释仅仅起到帮助理解这些概念。数学中研究的任何一个客体对象都称为一个类。类的概念是没有任何限制。类与类之间可能存在着一种称为属于的关系，类A属于类B记为AinB，此时也称类A是类B的一个元素(简称为元)。人们可以把类理解成为是由若干元素组成的一个整体。一个类是否是另一个类的元素是完全确定的，这就是类元素的确定性。类A如果不是类B的元素，则称A不属于B，记为AnotinB。另一个不加定义的概念就是：类总是具有一定的性质，人们常以P(x)表示类x具有性质P。人们可以把性质理解为“关于类的一句表述”。人们还认为逻辑学中的基本概念与基本知识是类理论的基础。
类的外延公理
公理Ⅰ(外延公理)forallA,B(A=Biffforallx(xinAiffxinB))。
公理Ⅰ的含义是：两个类“相等”的充要条件是它们的元素完全相同，这就是说，类完全由其元素确定。类的所有元素可以通俗地称为它的外延，正因如此，公理Ⅰ被称为外延公理。由此人们可以定义：
定义1.1两个类A、B，如果它们的元素完全相同，则称这两个类是相等的，记为A=B。
因此，类完全由其外延确定。由外延公理人们可以得出：类中的元素是不会重复出现的(准确地说，重复出现的元素仍然被当作一个元素)，这就是类元素的互异性；类中的元素是不计其出现在类中的顺序的，这就是类元素的无序性。一个类可能由若干元素组成，而它本身又可能成为另外的类的元素，这就是类元素的相对性。
类的内涵与罗素悖论
一般地说，类中的元素总是具有某种共同的性质的，这就是类的元素的同质性。一个类的所有元素所共同具有的、而且是这个类的元素所独有的性质(也就是说不是该类的元素就不具有该性质)通俗地称为该类的内涵。类的内涵与外延之间存在着直观的“反比关系”：类的内涵越多，其外延越小；内涵越少，其外延越大。对于类的内涵问题，人们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致如下的悖论：
罗素悖论设性质P(x)表示“xnotinx”，现假设由性质P确定了一个类A----也就是说“forallx(xinAiffxnotinx)”。那么现在的问题是：AinA是否成立？首先，若AinA，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知AnotinA其次，若AnotinA，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以AinA。
罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论：理发师悖论某理发师发誓“要给所有不自已理发的人理发，不给所有自己理发的人理发”，现在的问题是“谁为该理发师理发？”。首先，若理发师给自己理发，那他就是一个“自己理发的人”，依其誓言“他不给自己理发”；其次，若“他不给自己理发”，依其誓言，他就必须“给自己理发”。而书目悖论也是罗素悖论的一种通俗表达形式。
真类与集合
罗素悖论
为解决此类悖论，人们把类区分为两种：
定义1.2如果存在类B,而类A满足条件“existsB(AinB)”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为Set(A)。
定义1.2说明，一个集合是类的一种，它可以成为其它类的一个元素，这也正是集合的"严格"定义。
有另一种集合的定义：已存在一个类B,其中凡是符合属性P(x)的，可以构成一个类A。类A则是一个集合，或者说是B的一个子类。但对此种定义，人们可以提出质疑，不能保证A不是真类。但人们还是乐于接受该定义的。但定义说不上严格。集合能进行各种类运算。真类不是集合的类就是真类。真类是一种能以自身作为元素的类，对于真类，类运算并不一定都能进行。一个真类却不能成为其它类的元素。因此人们可以理解为“本性类是最高层次的类”。罗素悖论等于用反证法证明了真类的存在。但真类是抽象难理解的。但是，“类和集合是非常一般的概念，什么是集合的问题是不能彻底回答的。只有随着数学实践来确定哪些类是集合，哪些类是真类，任何时间，总有一些类无法确定其到底是不是集合。”
类的内涵公理
公理Ⅱ(内涵公理)设P是一个性质，则existsA(forallx(xinAiffP(x)wedgeSet(x)))。
公理Ⅱ的含义是：满足一定性质的所有集合可以组成一个类。
内涵公理能够解决罗素悖论：令P(x)为“xnotinx”(称为罗素性质)，依内涵公理，人们不能确定所有满足P的类能否构成一个类，人们只能确定满足P的所有集合能够构成一个类A（下面提到的性质1.1），人们有结论“AinAiffP(A)wedgeSet(A)”，即“AinAiffAnotinAwedgeSet(A)”。此时不会出现悖论，只能得出结果：A不是集合，因此A是本性类，人们把这个类称为罗素类。对于内涵公理，任给一个对所有集合都满足的性质P，如P(x)=Set(x)，则有：性质1.1所有的集合构成一个真类。人们把所有集合构成的类称为极限类（真类），它是类理论所承认的“最大的”类。由公理Ⅰ(外延公理)、公理Ⅱ(内涵公理)组成的公理体系人们称为罗素公理体系，这是关于类的理论的最基本的公理体系。
罗素公理体系与罗素悖论
罗素悖论产生的原因，是把真类当成集合。可以说，罗素公理体系在两方面避免罗素悖论：第一，不存在包含自身的集合（包含自身的类是真类）。第二，“所有”集合的总体不是集合！而是一个真类。因为“所有”一词，包含了自身。以书目悖论为例，根据罗素公理体系，所有符合条件的书的确构成了一个集合，因为它们可以与其它的书进一步构成更大的整体（集合的定义）--比如它们和不符合条件的书共同构成了图书馆里所有的书（类）。问题“这本书要记下自己的书名吗？”，即是，它包含自己吗？已经没有回答的意义。因为根据内涵定义，不存在包含真类的集合。所以实物上不存在里面提到的那一本目录书（也有人认为那是一个非法的集合，一个集合要包含自身，但又要和集合内其它元素相区别，是不可能的）。但注意，这一抽象概念却是存在的，它是一个真类。在理发师悖论里，理发师其实划出了一个真类。如果理发师修改一下自己的说法：“除了我理发师本人之外，我给所有不给自己理发的人理发”，悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个集合（根据声明，他不在自己定义的服务群里）。注意：罗素公理体系只是“避免”了罗素悖论，并没有解决罗素悖论。罗素公理体系的提出，是保证不产生悖论，又要求这些公理的范围足够宽，能容纳全部数学。就是说要给数学提供足够的集合。
