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Z检验(Z Test)

什么是Z检验

  Z检验是一般用于大样本(即样本容量大于30)平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率,从而比较两个平均数的差异是否显著。

  当已知标准差时,验证一组数的均值是否与某一期望值相等时,用Z检验。

Z检验的步骤

  第一步:建立虚无假设,即先假定两个平均数之间没有显著差异,

  第二步:计算统计量Z值,对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法,

  1、如果检验一个样本平均数(bar{X})与一个已知的总体平均数(μ0)的差异是否显著。其Z值计算公式为:

  Z=frac{bar{X}-mu_0}{frac{S}{sqrt{n}}}

  其中:

  • bar{X}是检验样本的平均数;
  • μ0是已知总体的平均数;
  • S是样本的标准差
  • n是样本容量。

  2、如果检验来自两个的两组样本平均数的差异性,从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为:

  Z=frac{bar{X_1}-bar{X_2}}{sqrt{frac{S_1}{n_1}+frac{S_2}{n_2}}}

  其中:

  • bar{X_1},bar{X_2}是样本1,样本2的平均数;
  • S1,S2是样本1,样本2的标准差;
  • n1,n2是样本1,样本2的容量。

  第三步:比较计算所得Z值与理论Z值,推断发生的概率,依据Z值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示:

  第四步:根据是以上分析,结合具体情况,作出结论。

Z检验举例

  某项教育技术实验,对实验组和控制组的前测和后测的数据分别如下表所示,比较两组前测和后测是否存在差异。

实验组和控制组的前测和后测数据表
前测实验组n1 = 50bar{X}_{1a}=76S1a = 14
控制组n2 = 48bar{X}_{2a}=78S2a = 16
后测实验组n1 = 50bar{X}_{1b}=85S1b = 8
控制组n2 = 48bar{X}_{2b}=80S2b = 14

  由于n>30,属于大样本,所以采用Z检验。由于这是检验来自两个不同总体的两个样本平均数,看它们各自代表的总体的差异是否显著,所以采用双总体的Z检验方法。

  计算前测Z的值:

  Z=frac{76-78}{sqrt{frac{14^2}{50}+frac{16^2}{50}}}=-0.658

∵|Z|=0.658<1.96
∴ 前测两组差异不显著。

  再计算后测Z的值:

  Z=frac{85-80}{sqrt{frac{8^2}{50}+frac{14^2}{50}}}=2.16

∵|Z|= 2.16>1.96
∴ 后测两组差异显著。

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