变径圆弧螺旋线
（关键词：圆弧、螺旋线、等差、等倍、变径圆弧螺旋线画法、阿基米德螺线、凸轮）
前 言
变径圆弧螺旋线是以不同半径的圆弧连接而成的螺旋线。由于这种螺旋线由圆弧构成，因此以圆规及直尺即可非常简单地绘出。它能绘制等差变径与螺旋线、等比变径圆弧螺旋线（对数螺线），甚至能绘制等差+等比的混合变径圆弧螺旋线、以椭圆为基础的类椭圆变径圆弧螺旋线。变径圆弧螺旋线可以说是一种新概念螺线。变径圆弧螺旋线具有便于绘制、计算简单，容易理解掌握、普及面广的特点。它与多种螺旋线存在着密不可分的联系，有较宽裕的研究空间。
科学是大众的科学，无穷的智慧寓于大众。为了让更多对螺旋线感兴趣的人士共同进行这项研究，特此公开以下粗浅的研究，希望能起到抛砖引玉的作用。
变径圆弧螺旋线
一 变理径圆弧螺旋线形成原理：圆心偏移的圆弧就是螺旋线。
依据以往的概念，我们很难将圆弧及螺旋线等同起来。通常认为圆弧是圆的一部分，圆弧上的任意点至圆心的距离均相等；而螺旋线上的任意点至极心的距离是逐渐变化、均不相等的。圆弧与螺旋曲线之间存在着本质的区别，是两种不同的概念。但是，圆心偏移了的圆弧的确就是螺旋线。（见下图）：下图中，左右两个图形分明是两个相等的半圆弧，但由于原点所处位置的不同，则性质发生了变化。右边圆弧变成了螺线曲线。
圆弧 螺旋线
变径圆弧螺旋线就是利用圆心偏移的圆弧就是螺旋线的原理，不断改变圆弧的圆心位置及圆弧半径，使螺旋线得以持续扩展、无限回旋，达到我们所需要的圈数。
二 变径圆弧螺旋线的有关概念：
1 变径弧段及弧角：指一周（360度）由几段圆弧构成以及圆弧的角度。如 ：
2-180度、3-120度、4-90度、6-60度、8-45度……
2 变径原则：
改变圆弧半径时，必须遵循在原有半径上做增减的原则。也就是说，前段圆弧半径及后段圆弧半径在同一直线上，才能达到不同半径圆弧的圆滑连接。
3 螺距、变径系数：
螺距：360度时，螺旋线的间距，是螺旋线的基本参数，用S表示。螺距等于360度等时，圆弧变径值之和。
变径系数：指单位弧角内圆弧半径的增减值（或倍率）用a表示。a=S/360度 或a=S/2π（弧度制）
螺旋线上任意点至原点的距离L=αa 该公式与阿基米德螺线公式ρ=θa 完全相同！
左图：就是利用圆心不断偏移，圆弧半径等差值不断增加所形成的“上部三个同心半圆弧，下部两个同心半圆弧”。五个不同半径的半圆弧，经圆滑连接形成了等差变径圆弧螺旋线。它的弧段、弧角为2-180度，即360度内由两段弧角为180度的半圆弧构成；它的两个圆心在一直线上，两圆心的间距为1／2螺距。
通过右侧等差变径圆弧螺旋线图形，我们可明显看出：它的曲线长度为五段不同半径的半圆弧周长的和，曲线围截面积为外围两半圆弧面积的和，等差变径圆弧螺旋线的曲线长度及曲线面积的计算十分简单、明了。而阿基米德螺线的曲线长度及面积计算需要微积分，非常复杂。
等差变径圆弧螺旋线画法、步骤
以左下图为例：步骤1先设定螺距。如设螺距S=24mm ，
步骤2 设定弧段及弧角为3-120度
步骤3 计算圆弧变径值：因为螺距等于360等时圆弧变径值之和，所以半径变径值为24/3=8mm
绘图（以直尺、圆规）
1 以变径值8mm为半径画一弧角为120度的圆弧 ；
3-120度等差变径圆弧螺旋线2 延长第一半径至8+8=16mm (2-变径值)，以16mm为半径画第二个弧角为120度的圆弧；
3 延长第二半径至24mm（3-变径值），以24mm为半径画第三个弧角为120度的圆弧，完成一周螺旋线。
4 以1、2、3弧段圆心依次将螺旋线展开，使其达到所需的圈数
以下是我绘制的几个不同构造的变径圆弧螺旋线
下图：弧段弧角为 4-60度+120度+60度+120度构造螺线
变径圆弧螺旋线
两条变径圆弧螺旋线右图为画在一起的两条弧段弧角为4-90度构造螺旋线。红色的一条，圆弧圆心连线为正方形，属等差变径圆弧螺旋线；黑色的一条，圆弧圆心连线为矩形属非等差变径圆弧螺旋线。两条螺旋线有区别：等差螺旋线变径系数只有一个；非等差螺旋线的变径系数则不只一个，在不同弧段内变径值不同。但不论等差变径圆弧螺旋线或非等差变径圆弧螺旋线，只要360度时它们变径值之和相等，则螺距就相等，均都属于等距螺旋线。
4-90度变径圆弧螺旋线
上图 弧段弧角为 6-60度等差变径圆弧螺旋线 上图 弧段弧角为8-45度等差变径圆弧螺旋线
为了直观地反映螺距S与弧段、弧角、变径值之间的相互关系。我分别绘出2-180度、3-120度 4-90度、6-60度、8-45度等不同弧段、弧角、变径值的等差变径圆弧螺旋线。通过以上图例，我们可以观察出：当弧段数增多时，弧角及变径值相应减小。
假设我们继续将等差变径圆弧螺旋线的弧段数增加至1296000个，弧角减小至1秒。此时变径系数为很小的值。如螺距S=30mm 则变径系数 a=30/1296000=0.000023（mm/秒）。以0.000023mm为半径在一秒的弧角内画的圆弧（如果能画出）将趋向一个点；由1296000个近似点的圆弧连接而成的螺旋线就是阿基米德螺线。可以说阿基米德螺线是等差变径圆弧螺旋线弧段为无限多时的表现形式。它的变径系数a=S/360度。（因1296000秒等于360度) 公式ρ=θa 与等差变径圆弧螺旋线公式完全相同。然而阿基米德螺线的曲线长度及面积的计算，就不像等差变径圆弧螺旋线那样简单了。由于阿基米德螺线曲线长度及面积是由无数多个点及无数多个小圆弧面积集合而成的，所以，用普通算术已无法计算，只能求助于微积分，计算变的复杂了。
等倍（比）变径圆弧螺旋线的画法及步骤
等倍（比）变径圆弧螺旋线就是对数螺线。对数螺线的螺距是以几何级数增减的。对数螺线的画法通常是先设定一半径，然后 等倍率递减半径由外向中心画去。当然也可以先设定一个半径，然后等倍率递增半径向外画。
等倍（比）变径圆弧的画法及步骤与等差变径圆弧螺旋线基本相同。
以上图 弧段弧角为2-180度、变径比为0.5的等比变径圆弧螺旋线为例：先以设定的半径在第一弧段内画一个弧角180度的半圆弧；然后将半径值乘以0.5，以0.5半径值在第二弧段内画弧角180度的半圆弧；再将第二半径乘以0.5，以此半径在第一弧段内画第三半圆弧；以此不断画出至所需圈数。
以下我画了几个不同弧段弧角的等比变径圆弧螺旋线，供参考、研究。
上图弧段弧角为 3-120度 变径比0.7 上图弧段弧角为4-90度 变径比0.618
上图 弧段弧角为6-60度 变径比0.6
其他螺旋线的画法
用变径圆弧螺旋线的画法，可以画出各种各样的螺旋曲线。以下我随意画了等比与等差混合变径圆弧螺旋线及由椭圆图形展开的类椭圆螺旋线。
右上图 为等差、等比混合变径圆弧螺旋线。我先以等比变径圆弧画出中间的等比变径圆弧螺旋线，再在其末端按等差变径圆弧画出等差变径圆弧螺旋线，使两条螺旋线合成一体。
左上图 笔者命名为“类椭圆变径圆弧螺旋线”。我先用变径圆弧画法画出一个椭圆，然后展开一端，再以画椭圆顺序连接不同半径的圆弧，形成以椭圆为基础的“类椭圆变径圆弧螺旋线”。
通过对以上各种各样螺旋曲线的绘制，个人认为只要掌握了变径圆弧螺旋线的画法技巧，几乎可以绘制所有类型的曲线。
后记
变径圆弧螺旋线系新概念螺旋线，目前除了本文应用它绘制各种各样螺旋曲线外，尚无其它应用例。可预见：它在机械制图、凸轮设计、几何学、数学、流体力学等领域将得到重视和广泛普及、应用。
笔者因知识老化，不会运用电脑绘图，文中的图形只能先画在纸上进行拍照，再复制到文档中。电脑也是摸索着学会一点，极不熟练，效率低下。以上粗浅研究均系独自苦思，无人商讨，文中难免存在很多谬误。欢迎指正。
我更加希望能得到思维敏捷年轻人的关注、青睐，希望年轻人能参与此项研究，使研究更加深入、正确。
李连生 2010-7-24 于四川 绵阳
