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| 段学复 |
段学复，数学家，数学教育家。长期从事代数学的研究，在有限群的模表示理论、代数李群、有限ｐ群、群论与组合数学的应用等方面取得重要成果。培养了一大批代数学研究人才。自1952年始，任北京大学数学系系主任近40年。
生平概况编辑本段回目录
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| 陕西华县 |
1924年秋段学复考入北京师范大学附属小学，读高小一年级。第二年又跳级考入北京师范大学附中。1926年暑假后，他因病休学一年。在中学的后五年中，他一直是在成绩优异、身体瘦弱的状态下度过的。1929年秋段学复考入了北京师范大学附中的高中理科班。
当时附中的教育质量是很高的，教材先进，要求严格，还开有选修课。以傅种孙先生为代表的数学教学更是使段学复对数学产生了浓厚的兴趣。由于对数学的爱好，1932年高中毕业后段学复考入了清华大学数学系（当时称为“算学系”）。
段学复在清华大学的4年中先后听过熊庆来、郑桐荪、杨武之、赵访熊、曾远荣等教授的课。这些老师各有特点，使段学复在分析、代数、几何诸方面都得以打下了坚实的基础。在此期间，段学复还选修了来校讲学的美国麻省理工学院维纳教授开设的傅立叶级数与傅立叶积分课，旁听了法兰西学院的阿达马院士讲授的偏微分方程课。这些都使段学复开阔了眼界。
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| 麻省理工学院 |
段学复刚入学便认识了华罗庚，从第二年起两人就相当熟了。他们和华罗庚在中文系的一个同乡王兆芹（时风），三个人常常一起吃完晚饭后就在校园里长距离散步，边走边谈，既聊数学，也谈时局。华罗庚对于学习数学的方法和作法，为段学复推荐的课外数学书籍等都对段学复有较大的影响和帮助。
当时，日本侵略军正在不断扩大侵华战争。在民族生死存亡的紧要关头，段学复也受到了爱国主义的洗礼。他参加了1935年12月9日和12月16日的两次示威游行以及1936年2月29日晚在清华大学新体育馆的集体灭灯静坐，抗议大批军警闯入校园逮捕学生。
1936年夏，段学复获得理学士学位，毕业留校任助教。1937年7月7日，日本侵略军借口所谓芦沟桥事件悍然侵占北平，挑起全面侵华战争。段学复于7月29日傍晚与母亲等三人一起离开北平，一路辗转颠簸，于当年10月来到由北京大学、清华大学和南开大学联合组成的长沙临时大学工作。次年4月6日段学复在西安与中学语文教师雷彬如女士结婚。此后不久，段学复又独自一人去昆明，在西南联合大学－清华大学任教。
当年秋天，华罗庚从英国剑桥大学访问归来，成为西南联合大学－清华大学的教授。他讲授的“近世代数”课程以当时问世不久的范德瓦尔登的《近世代数》第一卷为蓝本，但又做了不少的修改。段学复担任了刻写讲义和批改学生习题的任务。华罗庚还在教师中作过《域论八讲》的系列报告。这些都使段学复的代数学功底提高到一个新水平。另外，华罗庚还主持一个有限群讨论班，参加的有段学复、孙本旺、樊?和徐贤修等。大家轮流报告，素材是霍尔刚发表不久的重要论文《对Ｐ－群理论的贡献》和查森豪斯的《群论教程Ｉ》。从这时起，华罗庚与段学复开始合作研究p群的计数定理。这也是段学复从事代数学、特别是有限群方面的理论研究和培养人才工作的开端。
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| 多伦多大学 |
普林斯顿在当时有世界数学中心之称，著名的代数学家韦德伯恩就在该校任教。谢瓦莱则是系里30多岁的年轻助教授，学术上非常活跃。而普林斯顿高等研究院更是汇集了像爱因斯坦、外尔、冯?诺依曼等这样一批世界闻名的科学家。在这里，段学复参加了不少课程和讨论班，其中有谢瓦莱的代数几何基础和积分方程，外尔的代数数论和二次型的算术理论，西格尔的解析数论和超越数论。他还听了莱夫谢茨的拓扑课和丘奇的逻辑课等。在科研方面，段学复在布劳尔和谢瓦莱的指导下，通过听课、参加讨论班，特别是通过钻研他们已经发表的论文和尚未发表的文稿、书稿，最终与他们合作完成了有限群的模表示理论和李群、代数群两方面的重要工作。1943年段学复获得普林斯顿大学哲学博士学位。这之后，他继续留在该校做了两年的博士后，还到阿廷处作过4个月的访问学习。在此期间，他曾任数学系研究助理。从1945年9月起，段学复到普林斯顿高等研究院担任外尔的助手，协助他开设很有特色的群论课，并帮助修订其经典名著《典型群》 （1939），受到他的熏陶，一直到1946年回国。
在国外的这6年是段学复的数学生涯中很重要的一个时期。这6年里，他学习过的课程几乎涉及到了基础数学的各主要领域。而有幸向布劳尔和谢瓦莱这两位大师学习并与之合作，对于段学复的影响更是不言而喻的。
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| 中央研究院 |
1946年10月段学复回到了阔别9年的清华园，任清华大学数学系教授，从第二年起任代理系主任。在这段时间里，他连续开设了高等代数、高等微积分、近世代数、点集拓扑等课程。1946－1947学年他指导应届毕业生万哲先的毕业论文。1947年上半年，他又指导当时已转到清华大学的曹锡华学习抽象代数和模表示论，并于1948年下半年推荐他赴美到当时在密执根大学任教的布劳尔处作博士研究生。现在曹锡华已经在华东师范大学建立起了活跃的代数群科研集体。在代理系主任期间，段学复聘请了许宝騄、申又枨、庄圻泰等北京大学教授到清华大学兼课，又聘请由英国回来的闵嗣鹤到清华大学任教。
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| 华东师范大学 |
段学复从1950年至1987年一直担任中国数学会常务理事，1950－1952年参加了中国科学院数学研究所的筹建工作，1952年任北京大学数学力学系主任，1955年被选为中国科学院学部委员。他参加了1956年国家“十二年科学远景规划”等全国科学规划及数学学科规划的制定和名词审定工作，参加了教育部和高教部的科研规划、教学计划的制定以及教材编审工作。
1981年上半年段学复主动辞去了北京大学数学系主任的职务。但他的工作担子并没有减轻很多。1981—1984年他担任国务院学位委员会第一届数学评议分组成员兼召集人之一，同时还任北京大学数学系和数学研究所学术委员会主任。他曾任《中国科学》 、 《科学通报》 、 《数学学报》 、 《数学通报》和《数学年刊》编委， 《数学进展》主编（1980－1987）、名誉主编。他还是《中国大百科全书》总编委会委员，数学卷执行副主编，数论、代数学分组主编。
中国群表示论编辑本段回目录
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| 中国群表示论 |
有限群的模表示论研究有限群在特征为素数Ｐ的域上的表示，当Ｐ能够整除群的阶时，其表示与通常的有限群在特征0的域上的表示有很大的不同，理论更加复杂、深刻。这一理论自1935年由布劳尔创立，到40年代已初具规模。就在这时段学复开始了这方面的研究工作。在布劳尔1942年发表的重要论文《论阶恰含某素数的一次幂的有限群》的指引下，他在同一题目的博士论文（普林斯顿大学，1943年）中，在与布劳尔合作并继续布氏的工作而完成的两篇论文中取得了一些迄今仍有意义的重要成果。它们主要是：
（1）得出了其阶为ｐｑｂｍ的某些单群的结构，其中ｐ和ｑ是互不相同的素数，ｂ和ｍ为正整数且满足ｍ≤ｐ－1。
（2）证明了迪克森在其《线性群》一书中所列出的单群表直到10000阶都是完全的。
（3）对于ｐｇ＇阶的线性群，这里ｐ为素数且（ｐ，ｇ＇）＝1，当其维数≤（2ｐ十1）／3时，确定了它们的构造。
为了得到这些结果，段学复证明了模表示论的一些基本事实，例如他确定了ｐｇ＇阶群的ｐ块的布劳尔树的重要性质。他证明的三个引理，分别被人们称为“（布劳尔－段－）斯坦顿原则”、“（布劳尔－段）指标块分离原则”和“布劳尔－段定理”。
几十年已经过去，但这些成果并未失去它们的光彩。这一方面是由于它们所涉及的问题始终是有限群理论研究的主流，这些工作是后来发展的起点；另一方面也是由于现有的新结果仍然无法绕过或者替代段学复自己以及他和布劳尔合作得到的上述结果。正因为如此，这些结果被详细地写入费特的表示论名著《有限群的表示理论》，并为群论工作者广泛引用。据不完全统计，在1945年以来的数学论著中，引用段学复的论文的就有30多处。
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| 文化大革命 |
“文化大革命”以后，段学复指导学生继续进行这方面的研究工作，其中突出的是博士生张继平。他用表示论和单群分类定理彻底解决了维数小于ｐ的复线性群的结构问题。
段学复在代数李群方面也做了出色的工作。复数域上的代数李群是一个复矩阵群，其中的矩阵由其系数所满足的一组代数方程式所决定。这一概念的萌芽早在上个世纪末就已出现，这之后被人们遗忘了50年。但在此期间，嘉当和外尔对李群李代数进行了深入的研究。1943年，谢瓦莱首先在其题为《矩阵间的一种新关系》的论文中引进了利用矩阵的张量不变量而得到的矩阵复型的定义，然后又进一步利用矩阵的复型给出了特征为0的域上ｎ维矩阵李代数的子代数为代数李代数的定义。这时段学复跟随他学习李群、李代数，并合作发表了论文，概述了谢瓦莱－段学复合作工作的证明线索，而全文则因为两位作者之间的联系一度中断，迟至6年以后才得以发表。在文中他们证明了代数李群的如下基本定理：“每个代数李群的李代数是代数的李代数，而每个复数域上的代数李代数必定是某个代数李群的李代数”。由于有了这个定理，就可以利用李代数的方法把代数李群推广到特征为0的任意域上去。著名数学家博雷尔曾经指出：40年代中期谢瓦莱和段学复用李代数的方法把代数李群推广到特征零的任意域上，这是1955年线性代数群一般理论诞生的前奏。80年代中，蓝以中曾进行与代数李代数有关的研究。
事实上，段学复在这方面最早的一篇论文是《关于幂零矩阵的复型的一个注记》。在这篇论文中，段学复对前述谢瓦莱的第一篇文章里的定理6，给出了一个利用矩阵若尔当标准型的计算的直接而简单得多的证明，并将其加强且推广到特征ｐ≠0的域上。
由于叙洛夫定理的成立，ｐ群的研究在有限群理论中具有特殊的意义。早在30年代末霍尔关于ｐ群的重要论文刚发表不久，段学复就开始了这方面的研究。他与华罗庚合作研究了含有指数为ｐ2（ｐ＞2）的循环子群的ｐ群，给出了有关的计数定理，并对这种群作了完全分类，其结果用英文发表。在此基础上，华罗庚进行推广，引进了ｐ群的秩（即ｐｎ阶群中包含的最大循环子群的指数ｐｎ－ａ中的ａ）和伪基底的概念，证明了任意奇数阶ｐ群必有伪基底，并证明了循环子群的个数的米勒定理的推广等计数定理（见“ｐ群的某些计数定理”）。段学复运用华罗庚的上述结果，通过精细的分析计算，对于奇数阶ｐ群中子群个数的库拉考夫定理进行了推广，证明了奇ｐｎ阶秩ａ的ｐ群中ｐｍ阶子群的个数Ｎ（ｍ）ｍｏｄｐ3当2ａ＋1≤ｍ≤ｎ时必为1，1十ｐ，1十ｐ十ｐ2或1十ｐ十2ｐ2之一。这方面后来有很多外国尤其是苏联的数学家进行研究，至今仍然吸引着研究者的注意。段学复还对华罗庚的伪基底定理给出了一个更加简明的证明。
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| 组合数学 |
段学复在《关于ｐ群的一个定理》中，利用换位元素的运算法则证明了：若ｐ群Ｇ包含一个最大交换正规子群Ａ且Ｇ／Ａ为循环群，则Ａ／Ｚ≌Ｋ，其中Ｚ是Ｇ的中心而Ｋ是Ｇ的换位子群。对于Ｇ的上、下中心群列中相应的子群，他也证明了存在相应的同构。这项工作为一些中外学者所引用。布劳尔与段学复还有一些未发表的关于ｐ群的工作，手稿保留至今。
电子计算机的出现使组合数学与离散数学得到了蓬勃的发展，而有限群理论与组合数学（包括区组设计、有限几何、图论等）、编码理论以及密码学等等都有着密切的联系。同时，有限群的计算机方法、算法复杂度以及实用软件的研制等工作也由于其理论意义和实用价值，从60年代起得到了迅速的发展。70年代前期，段学复为某科研部门进行了几项应用问题的研究，所给出的方法在实际工作中使计算时效提高了许多倍。他还与其他同志一道开办讲习班，为实际工作部门培养了一批专门人才，受到有关部门的嘉奖。“文化大革命”以后，他进一步在计算群论与组合数学方面开展研究工作，并与王萼芳一起合作培养了王杰等5名这个方向的博士和硕士研究生。
1985年，段学复领导的群论科研集体中的王萼芳、石生明、徐明曜三人的“有限群及其表示论与组合数学”科研项目被评为国家教委优秀科技成果，他的《有限群对一类组合问题的应用》获某科研部门科技成果奖。1985年10月9日，段学复荣获中国科学院“从事科学工作50年荣誉奖状”，1989年11月1日荣获中国科学院“学部委员荣誉章”。1990年12月荣获国家科委、国家教委“从事科技工作40年荣誉证书”。
毕生奋斗编辑本段回目录
1952年，为了更好地适应全国解放所带来的各项事业的飞速发展，教育部在较大范围内对所属高等院校的地区分布、专业设置以及教学科研力量的配备等方面作了合理的调整。北京大学新的数学力学系由原来的老北京大学、清华大学以及燕京大学三校的数学系组建而成，段学复受聘为系主任。
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| 周培源 |
面对这一艰巨而繁重的任务，年仅38岁的段学复团结全系教职工，特别是1955年以后，在系副主任程民德教授的协助下，支撑体弱多病的身体为筹建新的数学力学系倾注了大量的心血。首先是在学习苏联上下功夫：一是派出去，曾先后有4名教师赴苏学习；二是请进来，有系主任顾问、苏联力学家别洛娃到系亲自指导5名力学研究生，且不久之后就在校教务长周培源教授的支持和协助下，成立了全国第一个力学专业。身为系主任的段学复十分重视发挥专家的作用，无论工作多么繁忙也要安排与别洛娃会谈工作，在1953－1954学年中甚至每周一次。值得一提的是，在国内推广重要的教学环节——习题课正是在这个时候开始的。当时到系里讲学的苏联代数学及概率论专家邓肯和波兰数理统计学家菲茨，为在国内领先成立概率论教研室作出了贡献。其次是创造条件，充分发挥国内专家的力量，如配合高等教育部于1954年在北京大学数学力学系举办了常微分方程和偏微分方程的讲习班，听讲的有来自全国各地的教师100多人，这为扩大专业队伍进而设置微分方程教研室带了个好头。1955年，北京大学数学力学系又成立了计算数学教研室，为在国内发展这一方向奠定了基础。此后，北京大学数学力学系还与莫斯科大学制备了科学研究合作规划。
在教材建设方面，自50年代起，在段学复的亲自参加下，经全系教师的努力，先后译出了库洛什的《高等代数》 、辛钦的《数学分析》和斯米尔诺夫的《高等数学教程》等书籍，解决了教学的急需，其中公开出版的也为兄弟院校提供了良好的教材和参考书。
就这样，在全系干部和教职员工的共同努力下，从1952年到1966年，北京大学数学力学系为国家培养出了约2000名本科毕业生和数十名研究生，同时在科研方面也取得了很好的成绩。
系主任的工作是非常繁忙的，段学复的身体不好，长期患有胃肠溃疡。但就在这种情况下，他的教学和科研工作一直没有停过。他多次开设高等代数、近世代数、李代数等课程，带研究生，指导学生撰写论文。1952－1966年段学复在其他同志的协助下，培养出了许以超、沈光宇、蓝以中、徐明曜、卢才辉等代数方面的本科生和石生明、洪加威、李慧陵等研究生。特别应当指出的是，段学复在1952－1966年间举办了两期有限群模表示论讨论班。第一次是在1954—1955年，他与聂灵沼、万哲先合作撰写讲义，无保留地提出自己所了解的重要研究课题，引导王萼芳研究阶≤27000的有限单群，取得了成果。第二次是受教育部的委托于1964—1966年间举办的。段学复与王萼芳合作编写了讲义，并有陈重穆等外单位教师和本系的研究生参加，开展专题研究、撰写论文。现在陈重穆已经在西南师范大学建立起了活跃的有限群科研集体。
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| 《高等代数》 |
从1978年起，随着中国学位制度的建立，段学复在其他同志的协助下，集中力量培养出了有限群及其表示论和计算群论与组合数学这两个方向的5名博士和14名硕士研究生，还指导了一名博士后。同时也培养了丘维声等中青年教师和一些外校的进修教师。1988年，他参加编写的《高等代数》获国家教委“全国高等学校优秀教材奖”。
段学复曾多次参加国内外学术会议，在大会上做学术报告。1982年他主持中国数学会第一届全国代数学学术交流会，1984年主持北京国际群论讨论会，并主编了会议论文集。直到1988年离休之后，段学复仍然在为中国的数学事业勤奋工作。近年来他承担着国家自然科学基金和国家教委博士点基金的科研项目，培养博士生、指导博士后。同时他仍然用相当大的精力关心和帮助青年教师的成长。
段学复的座右铭是“实事求是，认真严谨”。多年的治学经历使他深深体会到，科学是老老实实的学问，任何一点调皮都是不行的。必须勤学多练，打好基础，学深学透，做到能够灵活运用，至少有一两手过得硬的功夫。抓住问题后，要在掌握前人已有的主要工作的基础上，开阔思想，多方探索，锲而不舍，以期一旦贯通，得到成果。他以发现人才、培养人才为乐事，认为：师不必贤于弟子，能培养出胜过老师的学生是为师的最大快乐。
段学复曾经多次患病，特别是1959年夏天做的直肠癌切除手术，给他带来了永久性的不便和困难。但他始终保持乐观主义的态度，与疾病做了顽强的斗争，一直坚持工作。
人物简历编辑本段回目录
1914年7月29日 出生。祖籍陕西省华县。
1931—1936年 就读于清华大学算学系，获理学士学位。
1936—1939年 先后在清华大学、长沙临时大学和西南联合大学任教。
1940—1941年 留学于加拿大多伦多大学数学系，获硕士学位。
1941—1943年 留学于美国普林斯顿大学数学系，获哲学博士学位。
1943—1945年 在美国普林斯顿大学数学系读博士后。
1945—1946年 在普林斯顿高等研究院工作。
1946—1952年 任清华大学数学系教授。从1947年起任代系主任、系主任；
1950—1987年 任中国数学会常务理事。
1952年— 任北京大学数学力学系、数学系、数学研究所教授。于1952－1981年任北京大学数学力学系、数学系主任。
1955年— 任中国科学院院士。
