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仅含有限多个元素的域。它首先由E.伽罗瓦所发现，因而又称为伽罗瓦域。它和有理数域、实数域比较，有着许多不同的性质。最简单的有限域是整数环Z 模一个素数p得到的商环Z/(p),由p个元素0,1,…,p-1组成,按模p相加和相乘。这p个元素的域简记为Fp，有如下性质：pα=0;
，αp=α其中α、b∈Fp。Fp称为特征为p的素域,它与素数成一一对应。
任一有限域的特征是一素数。一个特征为素数 p的有限域F仍满足上述的第一、第二两条性质，F包含一个最小的子域,由单位元素e的一切倍数0,e,2e…,(p-1)e组成，它与Z/(p)同构。因此一个特征为p的有限域总是以特征为p的素域Fp作为子域。
特征p的有限域F也是Fp上一个有限维线性空间。设维数为n，F对Fp的一基为ε1,ε2,…,εn,则F由下列pn个元素组成：
所以｜F｜=pn。F的乘法群F*=F-{0}是一个pn-1阶循环群，恰好是多项式
的全部根。因此,F恰好由
在Fp的代数闭包内的全部根组成。反之,任给一个素数p和一个正整数n，恒存在一个含pn个元素的有限域,它就是多项式
在Fp上的分裂域。元素个数相同的任何两个有限域是同构的。因此,在同构意义下,对每个素数p和一个正整数n，存在一个而且只有一个含pn个元素的有限域，这个有限域记作GF(pn)。
顺便指出，J.H.M.韦德伯恩于1905年证明了“有限除环必是乘法交换的”。因此，有限除环就是现在所说的有限域。
对n的每个因子d,GF(pn)有一个而且只有一个含pd个元素的子域。因此,GF(pn)的子域和n的因子成一一对应。
有限域F=GF(pn)有一个弗罗贝尼乌斯自同构
,有
,
对所有x∈F，当且仅当n|k,因而σ生成一个n阶循环群G，|G|=【F:Fp】。F/Fp是一个伽罗瓦扩张，G是它的群，对n的每个因子d,在伽罗瓦对应下，子群〈
〉和它的不动域GF(
)成一一对应。
对于α∈F=GF(pn),规定：
对α∈F，规定：
设?(x)是元素α∈F＝GF(pn)在Fp上的极小多项式，?(x)的次数称为α的次数,α的次数d等于【Fp(α):Fp】,因而d│n。假设α≠0,则α的次数d和α在乘法群F*中的阶e有如下的关系:d是最小正整数,使得pd呏1(тode), 即α的次数等于pтode的指数。
若α(≠0)的阶等于pn-1,则α称为F的一个本原元素。它的极小多项式?(x)称为（n次）本原多项式。
设g(x)是Fp【x】中一个不可约多项式, 且g(x)≠x,若存在一个最小正整数r使得 xr呏1(modg(x))，则r称为g(x)的周期。一个非零的 α∈F的极小多项式?(x)的周期，等于α的阶。特别，一个n次本原多项式的周期等于pn-1。设一个不可约多项式g(x)(≠x)的周期为r,则g(x)k的周期等于rps，其中ps-1<k≤ps。
Fp【x】的一个m 次不可约多项式g(x)在GF(pn)内有根；
；这三者是等价的。因此,Fp【x】中n次不可约多项式全是
的因式,n次不可约多项式的个数为
,其中μ(d)是麦比乌斯函数。用
表示Fp上全部n次不可约多项式(首项系数为1)的积，于是
。n次本原多项式的个数为
，其中φ(m)为欧拉函数。
Fp上一个多项式?(x)（次数n≥1）的分解对现代通信有很重要的关系。在理论上它和商环R=Fp【x】/(?(x))的代数结构又密切相关。令
，则V有如下的性质。
① Fp嶅V嶅R，V为R的一个子环而且半单,因而V是一些与Fp同构的子域
的直和,i=1,2,…,g;g等于V作为Fp上线性空间的维数，g也是?(x)在Fp上相异的不可约因式的个数。的单位元素ei(i=1,2,…,g),构成R的互相正交的本原幂等元而且
。
② 令
，则 Pi(x)为一个不可约多项式的方幂,
,而且
·
。pj(x)称为?(x)的准素因式。
为了给出分解?(x)的实际的计算法，还有如下性质。
③ R有一个F自同构π：π(g(x))=g(x)p，g(x)∈R，则V就是属于π的特征值1的全部特征向量和0构成的特征子空间。于是有:a.设η∈V,g(x)为?(x)的一个因式,如果g(x)凲η-i,i=0,1,…,p-1,则
为一个非平凡的分解，而且这个条件也是必要的。上面的乘积中出现的因式两两互素。b.设η1,η2,…,ηg为V对Fp的一基，则g(x)为一个不可约多项式的方幂，其充分必要条件是每个ηi与Fp中一个元素modg(x)同余。
分解?(x)的步骤大致如下:不妨设η1=1。用η2按a.分解?(x),得到的因式记为?1(x),?2(x),…,?r(x),r≤g-1，每个?i(x)按b.进行检验，如果?i(x)含有两个或两个以上不同素因式，则存在一个ηj,j>2，使得?i(x)和ηj满足a.中的条件，用ηj对?i(x)进行分解, 如此进行下去,经有限步后,即得到?(x)的全部准素因式pi(x)，i=1,2,…,g,而pi(x)的分解是容易的。至于V的求得,则是属于线性方程组的问题。
判定一个n次多项式?(x)是否是本原的,还没有一般的方法，只有用试算的办法去计算具体的?(x)的周期之后才能作出判断。F2上 168次以下的三项或五项的本原多项式（每个次数给出一个）已经有表可查。计算出全部F上n次不可约多项式大致有两种途径,一是直接分解第2n-1个分圆多项式
，一是筛法,它正如求有理素数的筛法一样。F2上16次以下的全部不可约多项式和17～34次具有各种周期的不可约多项式有表可查。
令R表示由有限域 F上的形式幂级数
组成的环。?可逆的充分必要条件是α0≠0。如果存在一个正整数l使得
,那么?就称为循环的。若?是循环的,则最小的l就称为?的周期。全部循环幂级数构成R的一个子环,记作C。R中所有形如h(x)/g(x)的真分式构成R的一个子环，记作B,这里h(x)和g(x)是F【x】中的多项式, h(x)的次数小于g(x)的次数,且g(0)≠0。可以证明,C=B。因此,B与C的关系正如正的真分数（分母与10互素）与循环小数的关系一样。有限域在现代通信（例如编码）、组合数学（例如有限几何、区组设计、差集合、正交拉丁方）以及正交试验设计等各方面，有广泛的应用。
仅以线性反馈移位寄存器序列（以下简称线性移存器序列）为例，叙述如下。有限域F上一个非退化n位线性移存器序列,从一个非零初态x0，x1,…，xn-1出发产生一个输出序列
, 称之为一个n位线性移存器序列，它在 t时刻的输出xt是它前 n个时刻的输出的线性函数 
，式中b)j∈F，是与时刻 t无关的常数。这个n位非退化线性移存器的功能由上述递推关系所刻画。将输出序列表成幂级数
,此时x相当于移存器中的迟延算子。令
,则α(x)·g(x)为一个次数不大于(n-1)的多项式，记为h(x)，于是α(x)=h(x)/g(x)，因而α(x)是一个循环级数，α(x)的周期等于g(x)/d(x)的周期，其中d(x)=(g(x),h(X))。若g(x)是可约的,则α(x) 的周期还依赖于所给的初态。若 g(x)是不可约的，从任一非零初态出发得到的α(x)有同一周期，即g(x)的周期。反之，任给一个n次多项式g(x)，且g(0)=1,则可以造出一个非退化 n位线性反馈移存器序列使得它的功能由g(x)所确定。
应用n次本原多项式可以造出周期最长的n位线性反馈移存器序列。
参考书目
L.Dickson,Linear Algebraic Groups, with an Exposition of the Galois Field Theory, Dover,NewYork, 1958.
A.Albert,Fundamental Concepts of Higher Algebra, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1956.
，αp=α其中α、b∈Fp。Fp称为特征为p的素域,它与素数成一一对应。 任一有限域的特征是一素数。一个特征为素数 p的有限域F仍满足上述的第一、第二两条性质，F包含一个最小的子域,由单位元素e的一切倍数0,e,2e…,(p-1)e组成，它与Z/(p)同构。因此一个特征为p的有限域总是以特征为p的素域Fp作为子域。
特征p的有限域F也是Fp上一个有限维线性空间。设维数为n，F对Fp的一基为ε1,ε2,…,εn,则F由下列pn个元素组成：
所以｜F｜=pn。F的乘法群F*=F-{0}是一个pn-1阶循环群，恰好是多项式的全部根。因此,F恰好由在Fp的代数闭包内的全部根组成。反之,任给一个素数p和一个正整数n，恒存在一个含pn个元素的有限域,它就是多项式在Fp上的分裂域。元素个数相同的任何两个有限域是同构的。因此,在同构意义下,对每个素数p和一个正整数n，存在一个而且只有一个含pn个元素的有限域，这个有限域记作GF(pn)。 顺便指出，J.H.M.韦德伯恩于1905年证明了“有限除环必是乘法交换的”。因此，有限除环就是现在所说的有限域。
对n的每个因子d,GF(pn)有一个而且只有一个含pd个元素的子域。因此,GF(pn)的子域和n的因子成一一对应。
有限域F=GF(pn)有一个弗罗贝尼乌斯自同构
,有,对所有x∈F，当且仅当n|k,因而σ生成一个n阶循环群G，|G|=【F:Fp】。F/Fp是一个伽罗瓦扩张，G是它的群，对n的每个因子d,在伽罗瓦对应下，子群〈〉和它的不动域GF()成一一对应。 对于α∈F=GF(pn),规定：
,
对α∈F，规定：
，
设?(x)是元素α∈F＝GF(pn)在Fp上的极小多项式，?(x)的次数称为α的次数,α的次数d等于【Fp(α):Fp】,因而d│n。假设α≠0,则α的次数d和α在乘法群F*中的阶e有如下的关系:d是最小正整数,使得pd呏1(тode), 即α的次数等于pтode的指数。
若α(≠0)的阶等于pn-1,则α称为F的一个本原元素。它的极小多项式?(x)称为（n次）本原多项式。
设g(x)是Fp【x】中一个不可约多项式, 且g(x)≠x,若存在一个最小正整数r使得 xr呏1(modg(x))，则r称为g(x)的周期。一个非零的 α∈F的极小多项式?(x)的周期，等于α的阶。特别，一个n次本原多项式的周期等于pn-1。设一个不可约多项式g(x)(≠x)的周期为r,则g(x)k的周期等于rps，其中ps-1<k≤ps。
Fp【x】的一个m 次不可约多项式g(x)在GF(pn)内有根；
；这三者是等价的。因此,Fp【x】中n次不可约多项式全是的因式,n次不可约多项式的个数为,其中μ(d)是麦比乌斯函数。用表示Fp上全部n次不可约多项式(首项系数为1)的积，于是。n次本原多项式的个数为，其中φ(m)为欧拉函数。 Fp上一个多项式?(x)（次数n≥1）的分解对现代通信有很重要的关系。在理论上它和商环R=Fp【x】/(?(x))的代数结构又密切相关。令
，则V有如下的性质。 ① Fp嶅V嶅R，V为R的一个子环而且半单,因而V是一些与Fp同构的子域
的直和,i=1,2,…,g;g等于V作为Fp上线性空间的维数，g也是?(x)在Fp上相异的不可约因式的个数。的单位元素ei(i=1,2,…,g),构成R的互相正交的本原幂等元而且。 ② 令
，则 Pi(x)为一个不可约多项式的方幂,,而且·。pj(x)称为?(x)的准素因式。 为了给出分解?(x)的实际的计算法，还有如下性质。
③ R有一个F自同构π：π(g(x))=g(x)p，g(x)∈R，则V就是属于π的特征值1的全部特征向量和0构成的特征子空间。于是有:a.设η∈V,g(x)为?(x)的一个因式,如果g(x)凲η-i,i=0,1,…,p-1,则
为一个非平凡的分解，而且这个条件也是必要的。上面的乘积中出现的因式两两互素。b.设η1,η2,…,ηg为V对Fp的一基，则g(x)为一个不可约多项式的方幂，其充分必要条件是每个ηi与Fp中一个元素modg(x)同余。 分解?(x)的步骤大致如下:不妨设η1=1。用η2按a.分解?(x),得到的因式记为?1(x),?2(x),…,?r(x),r≤g-1，每个?i(x)按b.进行检验，如果?i(x)含有两个或两个以上不同素因式，则存在一个ηj,j>2，使得?i(x)和ηj满足a.中的条件，用ηj对?i(x)进行分解, 如此进行下去,经有限步后,即得到?(x)的全部准素因式pi(x)，i=1,2,…,g,而pi(x)的分解是容易的。至于V的求得,则是属于线性方程组的问题。
判定一个n次多项式?(x)是否是本原的,还没有一般的方法，只有用试算的办法去计算具体的?(x)的周期之后才能作出判断。F2上 168次以下的三项或五项的本原多项式（每个次数给出一个）已经有表可查。计算出全部F上n次不可约多项式大致有两种途径,一是直接分解第2n-1个分圆多项式
，一是筛法,它正如求有理素数的筛法一样。F2上16次以下的全部不可约多项式和17～34次具有各种周期的不可约多项式有表可查。 令R表示由有限域 F上的形式幂级数
组成的环。?可逆的充分必要条件是α0≠0。如果存在一个正整数l使得,那么?就称为循环的。若?是循环的,则最小的l就称为?的周期。全部循环幂级数构成R的一个子环,记作C。R中所有形如h(x)/g(x)的真分式构成R的一个子环，记作B,这里h(x)和g(x)是F【x】中的多项式, h(x)的次数小于g(x)的次数,且g(0)≠0。可以证明,C=B。因此,B与C的关系正如正的真分数（分母与10互素）与循环小数的关系一样。有限域在现代通信（例如编码）、组合数学（例如有限几何、区组设计、差集合、正交拉丁方）以及正交试验设计等各方面，有广泛的应用。 仅以线性反馈移位寄存器序列（以下简称线性移存器序列）为例，叙述如下。有限域F上一个非退化n位线性移存器序列,从一个非零初态x0，x1,…，xn-1出发产生一个输出序列
, 称之为一个n位线性移存器序列，它在 t时刻的输出xt是它前 n个时刻的输出的线性函数 ，式中b)j∈F，是与时刻 t无关的常数。这个n位非退化线性移存器的功能由上述递推关系所刻画。将输出序列表成幂级数,此时x相当于移存器中的迟延算子。令,则α(x)·g(x)为一个次数不大于(n-1)的多项式，记为h(x)，于是α(x)=h(x)/g(x)，因而α(x)是一个循环级数，α(x)的周期等于g(x)/d(x)的周期，其中d(x)=(g(x),h(X))。若g(x)是可约的,则α(x) 的周期还依赖于所给的初态。若 g(x)是不可约的，从任一非零初态出发得到的α(x)有同一周期，即g(x)的周期。反之，任给一个n次多项式g(x)，且g(0)=1,则可以造出一个非退化 n位线性反馈移存器序列使得它的功能由g(x)所确定。 应用n次本原多项式可以造出周期最长的n位线性反馈移存器序列。
参考书目
L.Dickson,Linear Algebraic Groups, with an Exposition of the Galois Field Theory, Dover,NewYork, 1958.
A.Albert,Fundamental Concepts of Higher Algebra, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1956.
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