模型论编辑本段回目录
正文编辑本段回目录
数理逻辑的一个分支。它是研究形式语言及其解释（模型）之间关系的理论。早在20世纪20年代，T.司寇伦（1887～1963）等人在数理逻辑研究中就已经得到有关模型论性质的重要结果。但作为系统的理论，模型论的奠基人应推A.塔尔斯基。后来，A.鲁宾逊也对模型论作过较多的贡献。在这方面有贡献的学者还有R.L.沃特、Ａ .И.马尔切夫、张辰中、H.J.凯斯勒、M.D.莫尔利和S.什拉赫等人。
模型论按其所涉及的逻辑系统划分,大致可分为:一阶模型论、高阶模型论、无穷长语言模型论、模态模型论、具有广义量词逻辑的模型论以及多值模型论等。由于在数理逻辑中以一阶逻辑（见一阶理论及其元逻辑）发展最为成熟，所以，模型论中一阶模型论的内容最丰富，而且应用最多。
与相邻学科或理论的关系 模型论与数理逻辑的其他分支有着密切的联系。首先，各种逻辑演算是模型论的基础。此外,例如在证明论中,有关判定问题的研究广泛使用着模型论性质的方法；公理集合论（见集合论）和递归论也都与模型论相互渗透及应用。
模型论中的概念与方法，除了主要来源于数理逻辑之外，也有不少来源于代数学，它与抽象代数的关系很密切。另外,由鲁宾逊创始的非标准分析,则是模型论与分析数学相结合的产物。模型论还与其他数学学科，如数论、拓扑学、概率论等也有联系，在不少场合，模型论的成果不但作为数学性的结论起作用，并且作为逻辑性的结论而起着推理工具的作用。
一阶语言 一阶模型论的语言是一阶语言。所谓一阶语言，就是用狭义谓词演算范围内的逻辑概念所表达的语言,具体地说,就是用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号或称谓词符号（一般包括等号在内），以及与、或、非、蕴涵等命题连接词，还有"存在一个体"和 "对一切个体" 两种量词所表达的语言。其特点是，量词"存在"、"对一切"只允许对个体使用，不允许对集合或谓词等使用。它不包括"存在（个体集合的）一个子集"这样的量词。在一个一阶语言中，由任一组命题所成的集合 T称为一个形式理论。如果有一个数学结构M，当用其中的概念解释T的命题中诸符号后，能使T的每一命题都在M中成立，则称M是T的一个模型。
定理 一阶模型论的一个基础性的定理称为紧致性定理，它的内容是说：如果一阶语言中一个命题集即形式理论T的任何有限子集都有模型，则T自身有模型。该定理是建立在关于一阶逻辑即狭义谓词演算的完全性定理之上的。这两个定理首先由K.哥德尔证明，又经马尔切夫推广并由L.汉金等人给出新证法。紧致性定理是关于模型存在性的一个基本定理，应用很广，模型论中很多结果是建立在它的基础上的。
模型论中一个发现较早的重要定理是勒文海姆－司寇伦定理（见司寇伦定理）。它的内容曾被塔尔斯基加以发展，其含意为：设一阶语言 L中所能表达的命题个数为λ（是一个超限数），如果L中的一个形式理论 T有无限模型，则 T有基数为任何 α≥λ 的模型。该定理使得在讨论问题时可以改变模型的基数而不影响所关心的理论 T。
完备理论 在模型论中,对于完备理论的研究,是一个比较系统而带有典型性的部分。一个形式理论 T，如果它的任何两个模型都具有完全相同的一阶性质，则称T为完备的。完备理论的不同模型间,其一阶性质可以互相转移，这一点对于某些数字定理的证明有时能起到独特的推理工具作用。例如，特征数为零的代数闭域理论T0 是完备的，而复数域 K是T0的模型，人们往往能借助于 K的某些非一阶性质(如拓扑性质、函数论性质等)证明某个一阶命题 ψ对于 K成立，这时，便立刻可以断定，ψ对于任何特征数为零的代数闭域F（如代数数域）也是成立的，虽然F不一定具有K的那些非一阶性质。
构造模型的方法 在对于模型的构造及一阶性质的研究中，塔尔斯基等人提出的初等子模型及初等链是很基本的概念及方法，与此有关的还有鲁宾逊提出的模型完全性等概念，后者由于涉及到代数而导致了一些特殊的研究。
超积是模型论中的一个常用的由一类已知模型构作新模型的方法。关于超积,J.洛斯有一个基本定理,其大意是说：超积具有它的在一定意义下的"几乎一切"因子所共有的那些一阶性质。这个定理在模型论中常常起着与紧致性定理类似的作用。在数学应用方面，它的能使一阶命题"转移"的特点，也常常能起到独特的推理工具作用。此外，超积及其特例超幂，在集合论问题的研究中也是常用的工具。在模型论中常用的概念及方法还有司寇伦函数、不可辨元、以及饱和模型等。
参考书目
C.C.Chang and H.J.Keisler,Model Theory, North-Holland Publishing Company,1973
模型论按其所涉及的逻辑系统划分,大致可分为:一阶模型论、高阶模型论、无穷长语言模型论、模态模型论、具有广义量词逻辑的模型论以及多值模型论等。由于在数理逻辑中以一阶逻辑（见一阶理论及其元逻辑）发展最为成熟，所以，模型论中一阶模型论的内容最丰富，而且应用最多。
与相邻学科或理论的关系 模型论与数理逻辑的其他分支有着密切的联系。首先，各种逻辑演算是模型论的基础。此外,例如在证明论中,有关判定问题的研究广泛使用着模型论性质的方法；公理集合论（见集合论）和递归论也都与模型论相互渗透及应用。
模型论中的概念与方法，除了主要来源于数理逻辑之外，也有不少来源于代数学，它与抽象代数的关系很密切。另外,由鲁宾逊创始的非标准分析,则是模型论与分析数学相结合的产物。模型论还与其他数学学科，如数论、拓扑学、概率论等也有联系，在不少场合，模型论的成果不但作为数学性的结论起作用，并且作为逻辑性的结论而起着推理工具的作用。
一阶语言 一阶模型论的语言是一阶语言。所谓一阶语言，就是用狭义谓词演算范围内的逻辑概念所表达的语言,具体地说,就是用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号或称谓词符号（一般包括等号在内），以及与、或、非、蕴涵等命题连接词，还有"存在一个体"和 "对一切个体" 两种量词所表达的语言。其特点是，量词"存在"、"对一切"只允许对个体使用，不允许对集合或谓词等使用。它不包括"存在（个体集合的）一个子集"这样的量词。在一个一阶语言中，由任一组命题所成的集合 T称为一个形式理论。如果有一个数学结构M，当用其中的概念解释T的命题中诸符号后，能使T的每一命题都在M中成立，则称M是T的一个模型。
定理 一阶模型论的一个基础性的定理称为紧致性定理，它的内容是说：如果一阶语言中一个命题集即形式理论T的任何有限子集都有模型，则T自身有模型。该定理是建立在关于一阶逻辑即狭义谓词演算的完全性定理之上的。这两个定理首先由K.哥德尔证明，又经马尔切夫推广并由L.汉金等人给出新证法。紧致性定理是关于模型存在性的一个基本定理，应用很广，模型论中很多结果是建立在它的基础上的。
模型论中一个发现较早的重要定理是勒文海姆－司寇伦定理（见司寇伦定理）。它的内容曾被塔尔斯基加以发展，其含意为：设一阶语言 L中所能表达的命题个数为λ（是一个超限数），如果L中的一个形式理论 T有无限模型，则 T有基数为任何 α≥λ 的模型。该定理使得在讨论问题时可以改变模型的基数而不影响所关心的理论 T。
完备理论 在模型论中,对于完备理论的研究,是一个比较系统而带有典型性的部分。一个形式理论 T，如果它的任何两个模型都具有完全相同的一阶性质，则称T为完备的。完备理论的不同模型间,其一阶性质可以互相转移，这一点对于某些数字定理的证明有时能起到独特的推理工具作用。例如，特征数为零的代数闭域理论T0 是完备的，而复数域 K是T0的模型，人们往往能借助于 K的某些非一阶性质(如拓扑性质、函数论性质等)证明某个一阶命题 ψ对于 K成立，这时，便立刻可以断定，ψ对于任何特征数为零的代数闭域F（如代数数域）也是成立的，虽然F不一定具有K的那些非一阶性质。
构造模型的方法 在对于模型的构造及一阶性质的研究中，塔尔斯基等人提出的初等子模型及初等链是很基本的概念及方法，与此有关的还有鲁宾逊提出的模型完全性等概念，后者由于涉及到代数而导致了一些特殊的研究。
超积是模型论中的一个常用的由一类已知模型构作新模型的方法。关于超积,J.洛斯有一个基本定理,其大意是说：超积具有它的在一定意义下的"几乎一切"因子所共有的那些一阶性质。这个定理在模型论中常常起着与紧致性定理类似的作用。在数学应用方面，它的能使一阶命题"转移"的特点，也常常能起到独特的推理工具作用。此外，超积及其特例超幂，在集合论问题的研究中也是常用的工具。在模型论中常用的概念及方法还有司寇伦函数、不可辨元、以及饱和模型等。
参考书目
C.C.Chang and H.J.Keisler,Model Theory, North-Holland Publishing Company,1973
配图编辑本段回目录
